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2019-2020年高中数学
3.
2.2空间向量与垂直关系练习新人教A版选修2-1空间的垂直关系.空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a=a1,a2,a3,直线m的方向向量为b=b1,b2,b3,则l⊥m⇔________________________设直线l的方向向量是a=a1,b1,c1,平面α的法向量u=a2,b2,c2,则l⊥α⇔______________________若平面α的法向量u=a1,b1,c1,平面β的法向量v=a2,b2,c2,则α⊥β⇔________________________2.证明空间中的垂直关系,除了空间向量法之外,还有什么方法? 基础梳理 a1b1+a2b2+a3b3=0 a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2,λ∈R a1a2+b1b2+c1c2=0想一想
1.解析∵1,1,1·0,1,-1=0,1,1,1·1,-1,0=0,而向量1,-1,0与向量0,1,-1不平行,∴l⊥α.2.还可以用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.事实上,在用空间向量证明垂直时,也会用到上述定理. 1.设直线l1的方向向量为a=2,1,-2,直线l2的方向向量为b=2,2,m,若l1⊥l2,则m= A.1B.-2C.-3D.32.若直线l的方向向量为a=1,0,2,平面α的法向量为u=-2,0,-4,则 A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交3.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是 A.⊥B.⊥C.⊥D.⊥自测自评1.D2.解析∵a∥u,∴l⊥a.答案B3.解析由题意知PA⊥平面ABCD,所以PA与平面上的线AB、CD都垂直,A、B正确;又因为菱形的对角线互相垂直,可推得对角线BD⊥平面PAC,故PC⊥BD,C选项正确.答案D1.若n=1,-2,2是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α法向量的是 A.1,-2,0B.0,-2,2C.2,-4,4D.2,4,41.解析因为2,-4,4=21,-2,2=2n,所以2,-4,4可作为α的一个法向量.故选C.答案C2.已知平面α的法向量为a=1,2,-2.平面β的法向量为b=-2,-4,k,若α⊥β,则k= A.4B.-4C.5D.-52.解析∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=-2-8-2k=0,∴k=-
5.答案D3.已知平面α内的三点A0,0,1,B0,1,0,C1,0,0,平面β的一个法向量为n=-1,-1,-1,且β与α不重合,则 A.α∥βB.α⊥βC.α与β相交不垂直D.以上都不对3.解析=0,1,-1,=1,0,-1,∴n·=0,n·=0,∴n⊥,n⊥,故n也是α的一个法向量,又∵α与β不重合,∴α∥β.答案A4.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u=1,3,z,向量v=3,-2,1与平面α平行,则z=________.4.35.xx·青岛高二检测如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是 A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直5.解析建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A2,0,0,M0,0,1,O1,1,0,N2,1,2,=-1,0,-2,=-2,0,1,·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.答案C6.平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知+-2·-=0,则△ABC的形状是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.解析+-2·-=-+-·=+·=0,故△ABC为等腰三角形.答案B7.已知A、B、C三点的坐标分别为A1,2,3,B2,-1,1,C3,λ,λ,若⊥,则λ等于________.7.解析=1,-3,-2,=2,λ-2,λ-3,∵⊥,∴·=0,∴2-3λ-2-2λ-3=0,解得λ=.答案8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=2,-1,-4,=4,2,0,=-1,2,-1.对于结论
①AP⊥AB;
②AP⊥AD;
③是平面ABCD的法向量;
④AP∥BD.其中正确的是________填序号.8.解析·=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,
①正确;·=-4+4=0,所以AP⊥AD,
②正确;是平面ABCD的法向量,所以
③正确;
④错误.答案
①②③9.如图,在四棱锥ABCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.证明AD⊥CE.9.证明作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE且O为BC的中点,以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,以射线OA为z轴正方向,建立如图所示的直角坐标系Oxyz,设A0,0,t,由已知条件有C1,0,0,D1,,0,E-1,,0,所以=-2,,0,=1,,-t.所以·=
0.所以AD⊥CE.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知E、F、G、H分别是CC
1、BC、CD和A1C1的中点.证明1AB1∥GE,AB1⊥EH;2A1G⊥平面EFD.10.证明如图以A为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D0,1,0,A10,0,1,B11,0,1,C11,1,1,D10,1,1,由中点性质得E1,1,,F,G,H,,1.1=1,0,1,=,=-,-,,∵=2,·=1×+1×=0,∴∥,⊥,即AB1∥GE,AB1⊥EH.2∵=,=,=,∴·=-+0=0,·=+0-=0,∴⊥,⊥,即A1G⊥DF,A1G⊥DE.又DF∩DE=D,∴A1G⊥平面EFD.。