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2019-2020年高中数学
3.2一般形式的柯西不等式练习新人教A版选修4-51.利用柯西不等式证明不等式.2.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.3.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.1.柯西不等式向量形式|α||β|____________|α·β|.答案≥2.定理柯西不等式的推广形式设n为大于1的自然数,ai,bii=1,2,…,n为任意实数,则∑ni=1a∑ni=1b________∑ni=1aibi2,其中等号当且仅当==…=时成立当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n.答案≥思考1 设x+y+z=19,则函数u=++的最小值是 A.442B.C.38D.76解析u2=x2+y2+z2+4+9+6+2+2+2≥x2+y2+z2+22+32+42+2xy+2×3+2xz+2×4+2yz+3×4=x+y+z2+2+3+42=192+92=
442.∴u≥.当且仅当=,==,=时,等号成立.∴umin=.答案B 思考2 求证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.证明取两组数a,b,c,d;b,c,d,a,由柯西不等式有a2+b2+c2+d2b2+c2+d2+a2≥ab+bc+cd+da2,即a2+b2+c2+d22≥ab+bc+cd+da
2.∴a2+b2+c2+d2≥|ab+bc+cd+da|≥ab+bc+cd+da.∴原不等式成立. 1.已知a+a+…+a=1,x+x+…+x=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是 A.1B.2C.3D.4答案:A2.已知x,y,z为正数,x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值为 A.B.C.D.不存在答案:B3.同时满足2x+3y+z=13…1,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82…2的实数x、y、z的值分别为______,______,______.解析可令x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2,则x1+x2+x3=18且x+x+x=
108.由此及柯西不等式得182=x1+x2+x32≤x+x+x12+12+12=108×3,上式等号成立的充要条件==⇒x1=x2=x3=6⇒x=3,y=1,z=
4.答案3 1 44.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求++的最大值.解析由柯西不等式得++2=1×+1×+1×2≤12+12+124a+1+4b+1+4c+1=3×[4a+b+c+3]=
21.当且仅当a=b=c=时取等号.∴++的最大值为.5.a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证++≥.证明∵12+12+12≥=,而a+b+c≥1+1+12=9,即++≥9,∴≥100,∴++≥.6.设a,b,c为正数,求证++≥a+b+c.证明由柯西不等式得[2+2+2]≥,于是a+b+c≥a+b+c2,即++≥a+b+c.7.设a,b,c为正数,且不全相等,求证++.证明构造两组数,,;,,,则由柯西不等式得a+b+b+c+c+a≥1+1+12,即2a+b+c≥9,于是++≥.
①由柯西不等式知,
①式中等号成立⇔==⇔a+b=b+c=c+a⇔a=b=c.因题设a,b,c不全相等,故
①式中等号不成立.于是++.8.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为______.解析使用柯西不等式求解.∵a+2b+3c=6,∴1×a+1×2b+1×3c=
6.∴a2+4b2+9c212+12+12≥a+2b+3c2,即a2+4b2+9c2≥
12.当且仅当==,即a=2,b=1,c=时取等号.答案129.设x,y,z∈R,且满足;x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=________.解析由柯西不等式可得x2+y2+z212+22+32≥x+2y+3z2,即x+2y+3z2≤14,因此x+2y+3z≤.因为x+2y+3z=,所以x==,解得x=,y=,z=,于是x+y+z=.答案10.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则= A.B.C.D.解析由于a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2等号成立当且仅当===t,则a=tx,b=ty,c=tz,t2x2+y2+z2=
10.由题知t=,又===,所以=t=.答案C11.已知函数fx=m-|x-2|,m∈R,且fx+2≥0的解集为[-1,1].1求m的值;2若a,b,c∈R+,且++=m,求证a+2b+3c≥
9.解析1因为fx+2=m-|x|,fx+2≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0且其解集为{x|-m≤x≤m}.又fx+2≥0的解集为[-1,1],故m=
1.2由1知++=1,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=a+2b+3c≥=9,即a+2b+3c≥
9.1.证明一般形式的柯西不等式是通过构造了二次函数,利用配方法,通过讨论相应的判别式来证明不等式,特别地要掌握等号成立的充分必要条件.2.对一般形式的柯西不等式的学习可由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式,是从特殊到一般的认识过程,其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁,三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆,一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广,这样易于记忆不等式的结构与特征,对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.3.对一般形式的柯西不等式应注意整体的结构特征,要从整体结构上认识这个不等式,形成一定的思维理解模式,在应用其解决问题时才能灵活应用.。