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2019-2020年高中数学
3.
3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1►基础梳理1.极值的概念.如果函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′a=0,而且在点x=a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则把点a叫做y=fx的极小值点,fa叫做函数y=fx的极小值;如果函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′b=0,而且在点x=b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则把点b叫做y=fx的极大值点,fb叫做函数y=fx的极大值.2.求函数y=fx的极值的一般方法.解方程f′x=
0.当f′x=0时1如果在x0附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,那么fx0是极大值;2如果在x0附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,那么fx0是极小值.►自测自评1.下面说法正确的是BA.可导函数必有极值 B.函数在极值点一定有定义C.函数的极小值不会超过极大值D.函数在极值点处导数一定存在2.函数fx的定义域为开区间a,b,导数f′x在a,b内的图象如图所示,则函数fx在开区间a,b内极小值有AA.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.函数y=1+3x-x3有极小值________,极大值__________.解析∵y=1+3x-x3,∴y′=3-3x2,令y′=0,得x=±1,且y′在区间-∞,-1,-1,1,1,+∞上的正负性依次为-,+,-.∴当x=-1时,y=-1是极小值;当x=1时,y=3是极大值.答案-1 31.函数y=2x3-x2的极大值为AA.0B.-9C.0,D.解析y′=6x2-2x,令y′>0,解得x<0,x>,令y′<0,解得0<x<,∴当x=0时,取得极大值0,故选A.2.若函数y=x3-2mx2+m2x当x=时,函数取得极大值,则m的值为CA.或1 B.C.1D.都不对3.若函数y=x3+x2+ax在R上没有极值点,则实数a的取值范围是________.解析f′x=x2+2x+a,∵fx在R上没有极值点,∴Δ=4-4a≤0,∴a≥
1.答案a≥14.求函数fx=-xx-22的极值.解析函数fx的定义域为R.fx=-xx2-4x+4=-x3+4x2-4x,∴f′x=-3x2+8x-4=-x-23x-2,令f′x=0得x=或x=
2.列表从表中可以看出,当x=时,函数有极小值,且f=-=-.当x=2时,函数有极大值,且f2=-22-22=
0.5.已知函数fx=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.求a、b的值与函数fx的单调区间.解析因为fx=x3+ax2+bx+c,则f′x=3x2+2ax+b.依题意得,解得即f′x=3x2-x-2=3x+2x-1.函数f′x,fx的变化情况见下表所以函数fx的递增区间是与1,+∞,递减区间是.1.f′x0=0是函数y=fx在x=x0处有极值点的CA.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件解析y=fx在x=x0处有极值点时不仅要f′x0=0,而且还要x0左右的增减性相异.故fx0=0是y=fx在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.已知函数y=fxx∈R有唯一的极值,并且当x=1时,fx存在极小值,则CA.当x∈-∞,1时,f′x>0;当x∈1,+∞时,f′x<0B.当x∈-∞,1时,f′x>0;当x∈1,+∞时,f′x>0C.当x∈-∞,1时,f′x<0;当x∈1,+∞时,f′x>0D.当x∈-∞,1时,f′x<0;当x∈1,+∞时,f′x<0解析考查函数极小值的概念,只不过换成了符号语言,抓住极小值的定义即可得出答案C.3.函数y=1+3x-x3DA.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3解析y′=3-3x2,令y′=0,得x=±1,易判断当x=1时,有极大值y=3,当x=-1时,有极小值y=-
1.故选D.4.已知函数y=2x3-ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是BA.2,3B.3,+∞C.2,+∞D.-∞,3解析y′=6x2-2ax+36,∵x=2为极值点,∴当x=2时,y′=6×4-2a×2+36=0,解得a=15,∴y′=6x2-30x+36,令y=0,得x=2,x=3,∴y′>0时,x<2或x>3,故选B.5.函数fx=x3-3bx+3b在区间0,1内有极小值,则AA.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<解析问题等价于方程f′x=3x2-3b=0在区间0,1内有解,并且其较大的解必须在区间0,1内.于是得到0<<1,即0<b<
1.故选A.6.设函数fx=x3-mx2-nx的图象与x轴切于点1,0,则fx的极值为AA.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为C.极大值为0,极小值为-D.极大值为-,极小值0解析根据导数的几何意义,得到f1=0,且f′1=0,即解得m=2,n=-1,此时f′x=3x2-4x+1=3x-1x-1,再依据求极值的方法,可以得到极大值为f=,极小值为f1=
0.故选A.7.若函数fx=在x=1处取极值,则a=________.解析本题考查对极值定义的理解.依题意有f′x=,f′1=0,解得a=
3.答案38.已知三次函数fx的图象经过原点,并且当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,则函数fx的解析式为________________________________________________________________________.解析依题意,可设fx=ax3+bx2+cxa≠0,则f′x=3ax2+2bx+c,于是解得∴fx=x3-6x2+9x.答案fx=x3-6x2+9x点评典型的待定系数法解题,本题的条件有多余,所以要注意验根.9.若函数fx=xx-c2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.解析fx=x3-2cx2+c2xf′x=3x2-4cx+c2,∴f′2=c2-8c+12=0,c=2或c=
6.当c=2,f′x=3x2-8x+4=3x-2x-2,当<x<2,f′x<0,当x>2,f′x>0,∴当x=2时有极小值.当c=6时,f′x=3x2-24x+36=3x-2x-6,当2<x<6时,f′x<0,当x<2时,f′x>0,∴当x=2时有极大值.∴c=6符合题意.答案610.xx·惠州三模已知函数fx=x3-3axa∈R.1当a=1时,求fx的极小值;2若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=fx的切线,求a的取值范围.解析1∵当a=1时,f′x=3x2-3,令f′x=0,得x=-1或x=
1.当x∈-1,1时,f′x<
0.当x∈-∞,-1]∪[1,+∞时,f′x>
0.∴fx在-1,1上单调递减,在-∞,-1]和[1,+∞上单调递增.∴fx的极小值是f1=-
2.2f′x=3x2-3a,直线x+y+m=0,即y=-x-m,依题意得,切线斜率k=f′x=3x2-3a≠-1,即3x2-3a+1=0无解.∴Δ=0-4×3-3a+1<0,∴a<.11.xx·惠州一模已知fx=lnx,gx=x3+x2+mx+n,直线与函数fx、gx的图象都相切于点1,0.1求直线的方程及gx的解析式;2若hx=fx-g′x[其中g′x是gx的导函数],求函数hx的极大值.解析1∵直线是函数fx=lnx在点1,0处的切线,∴其斜率k=f′1=
1.∴直线的方程y=x-
1.又∵直线与gx的图象相切,且切于点1,0,∴gx=x3+x2+mx+n在点1,0的导函数值为
1.⇒∴gx=x3+x2-x+.2∵hx=fx-g′x=lnx-x2-x+1x0.∴h′x=-2x-1==-.令h′x=0,得x=或x=-1舍去.当0x时,h′x0,hx单调递增;当x时,h′x0,hx单调递减.因此,当x=时,hx取得极大值.∴[hx]极大值=h=ln+.►体验高考1xx·新课标全国卷Ⅱ函数fx在x=x0处导数存在.若p∶f′x0=0;q∶x=x0是fx的极值点,则CA.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p即不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析当f′x0=0时,x=x0不一定是fx的极值点,比如,y=x3在x=0时,f′0=0,但在x=0的左右两侧f′x的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点.由极值的定义知,x=x0是fx的极值点必有f′x0=
0.综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件.2.xx·重庆卷已知函数fx=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=fx在点1,f1处的切线垂直于y=x.1求a得值;2求函数fx的单调区间和极值.解析1对fx求导数得f′x=--,由fx在点1,f1处切线垂直于直线y=x,知f′1=--a=-2,解得a=.2由1知fx=+-lnx-,则f′x=--=,令f′x=0,解得x=-1或x=
5.因x=-1不在fx的定义域0,+∞内,故舍去.当x∈0,5时,f′x<0,故fx在0,5内为减函数;当x∈5,+∞时,f′x>0,故fx在5,+∞内为增函数;由此知函数fx在x=5时取得极小值f5=-ln
5.3.xx·新课标全国卷Ⅰ已知函数fx=exax+b-x2-4x,曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=4x+
4.1求a,b的值;2讨论fx的单调性,并求fx的极大值.解析1f′x=exax+a+b-2x-
4.由已知得f0=4,f′0=
4.故b=4,a+b=
8.从而a=4,b=
4.2由1知fx=4exx+1-x2-4x,f′x=4exx+2-2x-4=4x+
2.令f′x=0,得x=-ln2或x=-
2.从而当x∈-∞,-2∪-ln2,+∞时,f′x>0;当x∈-2,-ln2时,f′x<
0.故fx在-∞,-2,-ln2,+∞上单调递增,在-2,-ln2上单调递减.当x=-2时,函数fx取得极大值,极大值为f-2=41-e-2.4.xx·新课标全国卷Ⅱ已知函数fx=x2e-x.1求fx的极小值和极大值;2当曲线y=fx的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解析1fx的定义域为-∞,+∞.f′x=-e-xxx-2.
①当x∈-∞,0或x∈2,+∞时,f′x<0;当x∈0,2时,f′x
0.所以fx在-∞,0,2,+∞上单调递减,在0,2上单调递增.故当x=0时,fx取得极小值,极小值为f0=0;当x=2时,fx取得极大值,极大值为f2=4e-
2.2设切点为t,ft,则l的方程为y=f′tx-t+ft.所以l在x轴上的截距为mt=t-=t+=t-2++
3.由已知和
①式得t∈-∞,0∪2,+∞.令hx=x+x≠0,则当x∈0,+∞时,hx的取值范围为[2,+∞;当x∈-∞,-2时,hx的取值范围是-∞,-3.所以当t∈-∞,0∪2,+∞时,mt的取值范围是-∞,0∪[2+3,+∞.综上,l在x轴的截距的取值范围是-∞,0∪[2+3,+∞.。