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2019-2020年高中数学
4.2用数学归纳法证明不等式练习新人教A版选修4-51.了解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式.1.用数学归纳法证明含正整数n的不等式其中n取无限多个值n≥1,n∈N*.思考1 填空.已知x>-1,且x≠0,n∈N*,n≥
2.求证1+xn>1+nx.证明1当n=________时,左边=1+x2=1+2x+x2,右边=1+2x,因x2>0,则原不等式成立.在这里,一定要强调之所以左边>右边,关键在于x2>0是由已知条件x≠0获得的,为下面证明做铺垫2假设n=kk________时,不等式成立,即________.当n=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0,于是左边=1+xk+1=1+xk1+x>1+x1+kx=1+k+1x+kx2;右边=1+k+1x.因为________,所以左边>右边,即1+xk+1>1+k+1x.这就是说,原不等式在n=k+1时也成立.根据1和2,原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.答案:2 ≥2,k∈N* 1+xk>1+kx kx2>02.用数学归纳法证明不等式的关键是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这也是学好数学归纳法的重中之重.当然第一步是证明的基础,也是不能少的.思考2 用数学归纳法证明1+++…+nn∈N,n1时,第一步即证明不等式________.答案:1++21.用数学归纳法证明“1+++…+<nn∈N*,n>1”时,由n=kk>1不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是 A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1答案:C2.当n=1,2,3,4,5,6时,比较2n与n2的大小并猜想 A.n≥1时,2n>n2B.n≥3时,2n>n2C.n≥4时,2n>n2D.n≥5时,2n>n2答案:D3.用数学归纳法证明2nn>n2n∈N,n≥5,则应第一步验证n=________.答案:54.用数学归纳法证明++…+>-,假设n=k时不等式成立,当n=k+1时,应推证的目标不等式是________________.答案:-+>-5.关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是 A.n∈N*B.n≥4C.n4D.n=1或n4答案:D6.对于不等式≤n+1n∈N+;某学生的证明过程如下1当n=1时,≤1+1,不等式成立.2假设当n=kk∈N+时,不等式成立,即<k+
1.当n=k+1时,=<==k+1+1,∴当n=k+1时,不等式成立.∴上述不等式成立.由此可知 A.过程全部正确B.n=1时的验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析证明过程未使用归纳假设.答案D7.设n为正整数,fn=1+++…+,计算得f2=,f4>2,f8>,f16>3,f32>,观察上述结果,可推测出的一般结论为 A.f2n>B.fn2≥C.f2n≥D.以上都不对解析f2=,f4=f22>,f8=f23>,f16=f24>,f32=f25>,所以推测f2n≥.答案C8.用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n,都有xn+xn-2+xn-4+…+++≥n+1”,需验证的使命题成立的最小正整数值n应满足 A.n=1B.n=2C.n=1,2D.以上答案均不正确答案A9.已知fn=1+++…+n∈N+,用数学归纳法证明f2n>时,f2k+1-f2k=________.解析∵f2k+1=1+++…+++…+,f2k=1+++…+,∴f2k+1-f2k=++…+.答案++…+.10.用数学归纳法证明1+++…+<2其中n∈N*.证明1当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.2假设当n=kk≥1,k∈N*时,不等式成立,即1+++…+<2,那么n=k+1时,1+++…++<2+=<=
2.所以当n=k+1时,不等式也成立.根据1和2可知,不等式对任何n∈N*都成立.11.设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N*.1当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式;2当a1≥3时,证明对所有n≥1,有
①an≥n+2;
②++…+≤.解析1由a1=2,得a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+
1.2
①当n=1时,a1=3≥1+2,不等式成立.假设当n=kk≥1,k∈N*时,不等式成立,即ak≥k+2,当n=k+1时,ak+1=a-kak+1=akak-k+1≥k+2k+2-k+1=2k+5≥k+
3.即ak+1≥k+1+2,因此不等式成立.∴an≥n+2对于n∈N*都成立.
②由an+1=a-nan+1及1知当k≥2时,ak=a-k-1ak-1+1=ak-1ak-1-k+1+1≥ak-1k-1+2-k+1+1=2ak-1+1,∴ak+1≥2ak-1+1.即≥
2.∴ak+1≥2k-1a1+1,≤·k≥2,++…+≤=≤≤.12.证明1+++…+≥n∈N*.证明1当n=1时,左边=1,右边==1,∴左边≥右边.即命题成立.2假设n=kk≥1,k∈N*时,命题成立,即1+++…+≥.则当n=k+1时,要证明1+++…++≥,只要证+≥.∵--=-==<0,∴+≥成立,即1+++…++≥成立.∴n=k+1时,命题成立,根据
1、2可知,对一切n∈N*命题都成立.13.等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=2,且S2+b2=7,S4-b3=
2.1求an与bn;2设cn=,Tn=c1·c2·c3…cn,求证Tn≥n∈N*.1解析设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题知S2+b2=7,S4-b3=2,∴d+2q=5,3d-q2+1=0,解得q=2或q=-8舍去,d=1;∴an=1+n-1=n,bn=2n.2证明∵cn=,∴cn=.Tn=×××…×.下面用数学归纳法证明Tn≥对一切正整数成立.1当n=1时,T1=≥,命题成立.2假设当n=k时命题成立,∴Tk≥,则当n=k+1时,∵Tk+1=Tk·≥·=·=·≥,这就是说当n=k+1时命题成立,综上所述,原命题成立.14.函数fx=x2-2x-3,定义数列{xn}如下x1=2,xn+1是过两点P4,5,Qnxn,fxn的直线PQn与x轴交点的横坐标.证明2≤xnxn+
13.解析1因为f4=42-8-3=5,故点P4,5在函数fx的图象上,故由所给出的两点P4,5,Qnxn,fxn,可知,直线PQn斜率一定存在,故有直线PQn的直线方程为y-5=x-4,令y=0,可求得-5=eq\fx-2xn-8xn-4·x-4⇔=x-4⇔x=.所以xn+1=.下面用数学归纳法证明2≤xn
3.当n=1时,x1=2,满足2≤x13,假设n=k时,2≤xk3成立,则当n=k+1时,xk+1==4-,由2≤xk3⇔4≤xk+25⇔1≤⇔2≤4-3即2≤xk+13也成立,综上可知2≤xn3对任意正整数恒成立.下面证明xnxn+1,由xn+1-xn=-xn=eq\f4xn+3-x-2xnxn+2=.由2≤xn3⇒1≤xn-12⇒0-xn-12+4≤3,故有xn+1-xn0即xnxn+1,综上可知2≤xnxn+13恒成立.1.用数学归纳法证明含正整数n的不等式其中n取无限多个值,要注意观察是解决问题的前提条件,需要进行合理的试验和归纳,提出合理的猜想,从而达到解决问题的目的.2.前面已学过证明不等式的一系列方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等,而本节增加了数学归纳法证明不等式,且主要解决的是无限的问题,因而难度更大一些.但仔细研究,数学归纳法关键是由n=k到n=k+1的过渡,也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题.1用数学归纳法证明的关键是“变项”,即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法,得出要证明的目标不等式,因此以上几种方法均要灵活地运用.有个别较复杂的问题,第二个步骤再利用数学归纳法.2利用数学归纳法证明不等式问题时,有时要假设当n≤k时成立,再证当n=k+1时成立,实质上,这就是第二数学归纳法.。