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2019-2020年高中数学基本不等式教案苏教版必修5教学目标1.学会推导并掌握均值不等式定理;2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题教学重点均值不等式定理的证明及应用教学难点等号成立的条件及解题中的转化技巧教学过程重要不等式如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)证明a2+b2-2ab=(a-b)2当a≠b时,(a-b)2>0,当a=b时,(a-b)2=0所以,(a-b)2≥0即a2+b2≥2ab由上面的结论,我们又可得到定理如果a,b是正数,那么≥(当且仅当a=b时取“=”号)证明∵()2+()2≥2∴a+b≥2即≥显然,当且仅当a=b时,=说明1)我们称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2)a2+b2≥2ab和≥成立的条件是不同的前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.3)“当且仅当”的含义是充要条件.4)数列意义问a,b∈R-?例题讲解例1已知x,y都是正数,求证
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2证明因为x,y都是正数,所以≥
(1)积xy为定值P时,有≥∴x+y≥2上式当x=y时,取“=”号,因此,当x=y时,和x+y有最小值
2.
(2)和x+y为定值S时,有≤∴xy≤S2上式当x=y时取“=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值S
2.说明此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件ⅰ)函数式中各项必须都是正数;ⅱ函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;ⅲ)等号成立条件必须存在师接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例2已知a、b、c、d都是正数,求证(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd分析此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明由a、b、c、d都是正数,得≥>0,≥>0,∴≥abc...。