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2019-2020年高中数学第10课时基本不等式教案苏教版必修1学习目标
(1)了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念,能推导并掌握基本不等式;
(2)理解定理的几何意义,能够简单应用定理证明不等式重点,难点基本不等式的证明及其简单应用学习过程一.问题情境1.情境把一个物体放在天平的盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为,如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么并非物体的重量不过,我们可作第二次测量把物体调换到天平的另一个盘子上,此时称得物体的质量为2.问题如何合理地表示物体的质量呢?二.学生活动引导学生作如下思考
(1)把两次称得的物体的质量“平均”一下
(2)根据力学原理设天平的两臂长分别为,物体的质量为,则,
①,
②,
①,
②相乘在除以,得
(3)与哪个大?三.建构数学1.算术平均数与几何平均数设为正数,则称为的算术平均数,称为的几何平均数2.用具体数据验证得基本不等式即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数相等时两者相等下面给出证明证法1证法2证法33.说明
(1)基本不等式成立的条件是
(2)不等式证明的三种方法比较法(证法1)、分析法(证法2)、综合法(证法3)
(3)的几何解释(如图1)以为直径作圆,在直径上取一点,过作弦,则,从而,而半径
(4)当且仅当时,取“”的含义一方面是当时取等号,即;另一方面是仅当时取等号,即
(5)如果,那么(当且仅当时取“”).四.数学运用1.例题例1.设为正数,证明下列不等式成立
(1);
(2)证明
(1)∵为正数,∴也为正数,由基本不等式得∴原不等式成立
(2)∵均为正数,由基本不等式得,∴原不等式成立例2.已知为两两不相等的实数,求证证明∵为两两不相等的实数,∴,,,以上三式相加所以,.2.练习
1.给出下列结论
(1)若则
(2)若,则2.已知都是正数,求证
五、拓展探究某种产品的两种原料相继提价因此产品的生产者决定根据原料提价的百分比对产品分两次提价现有三种提价方案:方案甲:第一次提价第二次提价...。