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2019-2020年高中数学第一章三角函数
5.3训练案知能提升新人教A版必修41.函数fx=sin4x,x∈R的奇偶性为 A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析选B.因为f-x=sin[4-x]=sin-4x=-sin4x=-fx,所以fx=sin4x为奇函数.已知a∈R,函数fx=sinx+|a|-1,x∈R为奇函数,则a等于 A.0B.1C.-1D.±1解析选D.由题意,得f0=0,即|a|-1=0,所以a=±1,即当a=±1时,fx=sinx为R上的奇函数.函数fx=-sin2x+sinx+1,x∈R的最小值为 A.B.1C.0D.-1解析选D.fx=-+,当sinx=-1时,fxmin=-
1.函数y=4sinx+3在[-π,π]上的递增区间为 A.B.C.D.解析选B.y=sinx的递增区间就是y=4sinx+3的增区间.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时的x的值分别为 A.y=3,x=B.y=1,x=+2kπk∈ZC.y=3,x=-+2kπk∈ZD.y=3,x=+2kπk∈Z解析选C.当sinx=-1,即x=-+2kπk∈Z时,y取最大值
3.函数y=sin|x|的图像关于________对称.解析因为sin|-x|=sin|x|,所以y=sin|x|是偶函数,其图像关于y轴对称.答案y轴函数y=2sinx的值域是________.解析利用图像解决.通过图像不难发现y=2sinx,x∈的值域为0,2].答案0,2]cos10°,sin11°,sin168°从小到大的排列顺序是________.解析因为sin168°=sin180°-12°=sin12°,cos10°=cos90°-80°=sin80°,当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sinx是增函数,因此sin11°sin12°sin80°,即sin11°sin168°cos10°.答案sin11°sin168°cos10°若函数y=a-bsinx的最大值是,最小值是-,求函数y=-4asinbx的最大值与最小值及周期.解因为-1≤sinx≤1,当b0时,-b≤bsinx≤b.所以a-b≤a-bsinx≤a+b,所以解得所以所求函数为y=-2sinx.当b0时,b≤bsinx≤-b,所以a+b≤a-bsinx≤a-b.所以解得所以所求函数为y=-2sin-x=2sinx.所以y=±2sinx的最大值是2,最小值是-2,周期是2π.判断函数fx=lg的奇偶性.解由0得1-sinx1+sinx0,所以-1sinx1,所以x≠kπ+k∈Z.此函数的定义域为,关于原点对称,且f-x=lg=lg=lg=-lg=-fx.所以函数fx=lg为奇函数.[B.能力提升]1.已知奇函数fx在[-1,0]上是递减的,又α、β为锐角三角形两内角,则下列结论正确的是 A.fcosαfcosβB.fsinαfsinβC.fsinαfcosβD.fsinαfcosβ解析选D.因为α、β为锐角三角形两内角,则0-βα,所以0sinsinα1,即0cosβsinα
1.而已知奇函数fx在[-1,0]上是递减的,所以函数fx在[0,1]上也是递减的,所以fcosβfsinα.2.函数y=2+sinx,当x∈[-π,π]时, A.在[-π,0]上是增加的,在[0,π]上是减少的B.在上是增加的,在和上是减少的C.在[0,π]上是增加的,在[-π,0]上是减少的D.在和上是增加的,在上是减少的解析选B.因为0,所以函数y=2+sinx的单调性与正弦函数y=sinx的单调性相同,类比正弦函数的单调性可知,函数y=2+sinx在上是减少的,在上是增加的,在上是减少的.故选B.3.定义在R上的函数fx既是偶函数又是周期函数.若fx的最小正周期是π,且当x∈时,fx=cos,则f=________.解析由诱导公式可知fx=cos=sinx,由fx的最小正周期是π,知f=f=f.由fx是偶函数知f=f.又当x∈时,fx=sinx.所以f=sin=.所以f=.答案4.若函数fxx∈R是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为fx=则f+f=________.解析因为fx是以4为周期的奇函数,所以f=f=f,f=f=f.因为当0≤x≤1时,fx=x1-x,所以f=×=.因为当1x≤2时,fx=sinπx,所以f=sin=-.又因为fx是奇函数,所以f=-f=-,f=-f=.所以f+f=-=.答案5.已知3sin2α+2sin2β=2sinα,求sin2α+sin2β的取值范围.解由已知条件知sin2β=sinα-sin2α,所以0≤sinα-sin2α≤1,解得0≤sinα≤,所以sin2α+sin2β=sin2α+sinα-sin2α=-sinα-12+,设sinα=t,t∈,y=-t-12+在上是增函数,所以当t=0时,ymin=0,当t=时,ymax=.所以sin2α+sin2β的取值范围是.6.选做题定义在R上的函数fx既是偶函数又是周期函数,若fx的最小正周期是π,且当x∈时,fx=sinx.1当x∈[-π,0]时,求fx的解析式;2画出函数fx在[-π,π]上的函数简图;3当fx≥时,求x的取值范围.解1若x∈,则-x∈.因为fx是偶函数,所以fx=f-x=sin-x=-sinx.若x∈,则π+x∈.因为fx是最小正周期为π的周期函数,所以fx=fπ+x=sinπ+x=-sinx,所以x∈[-π,0]时,fx=-sinx.2函数fx在[-π,π]上的函数简图,如图所示3x∈[0,π],sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,所以x的取值范围是,k∈Z.。