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2019-2020年高中数学第一章三角函数章末综合检测新人教A版必修4
一、选择题本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.化简sin600°的值是 A.
0.5B.-C.D.-
0.5解析选B.sin600°=sin360°+240°=sin240°=sin180°+60°=-sin60°=-.2.已知函数fx=sinx在区间[a,b]上是增函数,且fa=-1,fb=1,则cos的值为 A.0B.C.1D.-1解析选C.由题知[a,b]⊆k∈Z,所以cos=cos2kπ=
1.3.函数y=++的值域是 A.{1}B.{1,3}C.{-1}D.{-1,3}解析选D.当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,所以y=++=3;当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,所以y=++=-1;当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,所以y=++=-1;当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,所以y=++=-
1.综上可知,值域为{-1,3}.4.函数y=cos2x+φ-π≤φπ的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ= A.πB.πC.D.解析选A.y=cos2x+φ的图象向右平移个单位得到y=cos的图象,整理得y=cos2x-π+φ.因为其图象与y=sin的图象重合,所以φ-π=-+2kπ,所以φ=+π-+2kπ,即φ=+2kπ.又因为-π≤φπ,所以φ=.5.要得到函数fx=cos的图像,只需将函数gx=sin的图像 A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析选C.因为函数fx=cos=sin=sin,所以将函数gx=sin的图像向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin=sin的图像.故应选C.6.若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出下列三个函数f1x=2cos2x,f2x=2cos,f3x=2cos-1,则 A.f1x,f2x,f3x两两为“同形”函数;B.f1x,f2x,f3x两两不为“同形”函数;C.f1x,f2x为“同形”函数,且它们与f3x不为“同形”函数;D.f2x,f3x为“同形”函数,且它们与f1x不为“同形”函数.解析选D.由题意得f2x与f3x中,A,ω相同,所以可通过两次平移使其图像重合,即f2x与f3x为“同形”函数,而f1x中ω=2与f2x,f3x中的ω=1不同,需要伸缩变换得到,即它们与f1x不为“同形”函数.7.已知奇函数fx在[-1,0]上为减函数,又α、β为锐角三角形两内角,则下列结论正确的是 A.fcosαfcosβB.fsinαfsinβC.fsinαfcosβD.fsinαfcosβ解析选D.由已知奇函数fx在[-1,0]上为减函数,知函数fx在[0,1]上为减函数.当α、β为锐角三角形两内角时,有α+β>且0<α,β<,则>α>-β>0,所以sinα>sin,即sinα>cosβ,又0<sinα,cosβ<1,所以fsinαfcosβ成立,选D.8.将函数fx=2sinωx+φ的图像向左平移个单位长度,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能为 A.4B.6C.8D.12解析选B.法一将函数fx=2sinωx+φ的图像向左平移个单位后所得图像的解析式为y=2sin=2sin,而平移后所得图像与原图像重合,所以=2kπk∈Z,所以ω=4kk∈Z,所以ω的值不可能等于6,故选B.法二当ω=4时,将函数fx=2sin4x+φ的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y=2sin=2sin4x+φ与原函数相同.当ω=6时,将函数fx=2sin6x+φ的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y=2sin=2sin6x+3π+φ=-2sin6x+φ,与原函数不相同,故选B.9.已知函数fx=sin2x+φ,其中|φ|<π,若fx≤对x∈R恒成立,且f>fπ,则fx的递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z解析选C.因为fx≤,知f是函数fx的最大值或最小值.函数fx的周期T=π,所以fπ=f0.又因为函数的对称轴为x=,所以f0=f,知f>f,所以f是函数fx的最小值,所以2×+φ=-,解得φ=-π.由-+2kπ≤2x-π≤+2kπk∈Z,得kπ+≤x≤kπ+k∈Z.10.已知某海滨浴场的海浪高度y米是时间t0≤t≤24,单位小时的函数,记作y=ft.下表是某日各时的浪高数据t小时03691215182124y米
1.
51.
00.
51.
01.
510.
50.
991.5经长期观测,y=ft的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图像.根据以上数据,你认为一日持续24小时内,该海滨浴场的海浪高度超过
1.25米的时间为 A.10小时B.8小时C.6小时D.4小时解析选B.依题意得解得A=
0.5,b=1,ω=,则y=
0.5cos+
1.令y=
0.5cos+
11.25t∈[0,24]得cos.又t∈[0,24],∈[0,4π],因此0≤或≤2π或2π≤2π+或2π+≤2π+2π,即0≤t2或10t≤12或12≤t14或22t≤24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超过
1.25米的时间为8小时.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上11.已知fx=2sin-m在x∈上有两个不同的零点,则m的取值范围是________.解析fx在上有两个不同零点,即方程fx=0在上有两个不同实数解,所以y=2sin,x∈与y=m有两个不同交点.令u=2x-,由x∈得u∈,在同一直角坐标系中做出函数y=2sinu与y=m的图像如图,可知1≤m
2.答案[1,212.函数y=2sinx∈[-π,0]的递减区间是________. 解析令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=-1,得-≤x≤-,得函数的递减区间为.答案13.设a=sin,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小关系为________按由小至大顺序排列.解析a=sin=sin=sin,b=cos=sin=sin,因为0<<<,y=sinx在上为增函数,所以b<a;又因为0<<<,y=tanx在上为增函数,所以c=tan>tan=1,所以b<a<c.答案b<a<c14.将函数fx=sinωx+φ图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度可得y=sinx的图像,则f=________.解析将y=sinx的图像向左平移个单位长度可得y=sin的图像,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin的图像,故fx=sin.所以f=sin=sin=.答案15.关于函数fx=4sinx∈R,有下列命题
①函数y=fx的表达式可改写为y=4cos;
②函数y=fx是以2π为最小正周期的周期函数;
③函数y=fx的图像关于点对称;
④函数y=fx的图像关于直线x=-对称.其中正确的是________.解析
①fx=4sin=4cos=4cos=4cos,正确;
②T==π,最小正周期为π,错误;
③令2x+=kπ,当k=0时,x=-,所以函数fx关于点对称,正确;
④令2x+=kπ+,当x=-时,k=-,与k∈Z矛盾,错误.所以
①③正确.答案
①③
三、解答题本大题共5小题,每小题10分,共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.本小题满分10分计算-cos585°·tan.解原式=-cos225°+360°·tan=+cos225°tan=+-cos45°·tan=+×1=-.
17.本小题满分10分1求函数y=1-2sin的最大值和最小值及相应的x值;2已知函数y=acos+3,x∈的最大值为4,求实数a的值.解1当sin=-1,即x+=-+2kπ,k∈Z.所以当x=-π+2kπ,k∈Z时,y取得最大值1+2=
3.当sin=1,即x+=+2kπ,k∈Z.所以当x=+2kπ,k∈Z时,y取得最小值1-2=-
1.2因为x∈,所以2x+∈,所以-1≤cos≤.当a>0,cos=时,y取得最大值a+
3.所以a+3=4,所以a=
2.当a<0,cos=-1时,y取得最大值-a+
3.所以-a+3=4,所以a=-
1.综上可知,实数a的值为2或-
1.18.本小题满分10分为得到函数y=sin+的图像,只要把函数y=sinx的图像作怎样的变换?解法一
①把函数y=sinx的图像向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图像;
②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=sin的图像;
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的横坐标不变,得到函数y=sin的图像;
④把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin+的图像.综上得到函数y=sin+的图像.法二将函数y=sinx依次进行如下变换
①把函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=sin2x的图像;
②把得到的图像向左平移个单位长度,得到y=sin的图像;
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的横坐标不变,得到y=sin的图像;
④把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin+的图像.综上得到函数y=sin+的图像.19.本小题满分12分设函数fx=sin2x+φ-πφ0,y=fx图像的一条对称轴是直线x=.1求φ;2画出函数y=fx在区间[0,π]上的图像.解1因为x=是函数y=fx的图像的对称轴,所以sin=±
1.所以+φ=kπ+,k∈Z.因为-πφ0,所以φ=-.2由1知y=sin,列表如下x0πy--1010-描点连线,可得函数y=fx在区间[0,π]上的图像如下.20.本小题满分13分已知Ax1,fx1,Bx2,fx2是函数fx=2sinωx+φ图像上的任意两点,且角φ的终边经过点P1,-,若|fx1-fx2|=4时,|x1-x2|的最小值为.1求函数fx的解析式;2求函数fx的递增区间;3当x∈时,不等式mfx+2m≥fx恒成立,求实数m的取值范围.解1因为角φ的终边经过点P1,-,所以tanφ=-,且-<φ<0,得φ=-.函数fx的最大值为2,又|fx1-fx2|=4时,|x1-x2|的最小值为,得周期T=,即=,所以ω=
3.所以fx=2sin.2令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以函数fx的递增区间为,k∈Z.3当x∈时,-≤3x-≤,得-≤fx≤1,所以2+fx>0,则mfx+2m≥fx恒成立等价于m≥=1-恒成立.因为2-≤2+fx≤3,所以1-最大值为,所以实数m的取值范围是.。