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2019-2020年高中数学第一章《组合》教案4新人教A版选修2-3组合数的性质1.一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数,即.在这里,主要体现“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明∵又,∴说明
①规定;
②等式特点等式两边下标同,上标之和等于下标;
③此性质作用当时,计算可变为计算,能够使运算简化.例如===xx;
④或.2.组合数的性质2=+.一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.证明∴=+.说明
①公式特征下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;
②此性质的作用恒等变形,简化运算例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解
(1)或,;
(2);
(3).例12.
(1)计算;
(2)求证=++.解
(1)原式;证明
(2)右边左边例13.解方程
(1);
(2)解方程.解
(1)由原方程得或,∴或,又由得且,∴原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解直接把和代入检验这样运算量小得多.
(2)原方程可化为,即,∴,∴,∴,解得或,经检验是原方程的解。