2019-2020年高中数学第三章直线与方程章末知识整合新人教A版必修2

2019-2020年高中数学第三章直线与方程章末知识整合新人教A版必修2直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．1．倾斜角α与斜率k的对应关系当α≠90°时，k＝tanα；当α＝90°时，k不存在．2．单调性当α由0°→90°→180°不含180°变化时，k由0逐渐增大到＋∞不存在，然后由－∞不存在逐渐增大到

0.3．经过两点Ax1，y1，Bx2，y2的直线的斜率k＝x1≠x2，注意当x1＝x2时，直线斜率不存在．　已知坐标平面内三点A－1，1，B1，1，C2，＋1．1求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；2若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．解析1kAB＝＝0，∴AB倾斜角为0°.kBC＝＝，∴BC倾斜角为60°.kAC＝＝，∴AC倾斜角为30°.2如题图，当D在AB上变化时，斜率k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为.►跟踪训练1．若直线ax＋y＋2＝0与连接点A－2，3，B3，2的线段有交点，则a的取值范围是________．解析容易发现，直线ax＋y＋2＝0过定点P0，－2，因此，要使直线与线段AB始终有交点，如图所示，当直线绕P点在PA、PB之间旋转时，直线ax＋y＋2＝0与连接点A－2，

3、B3，2的线段有交点，而ax＋y＋2＝0的斜率k＝－a，当直线由PB开始绕P点逆时针旋转时不与y轴重合，到PA为止，直线与线段AB始终有交点，此时，斜率的变化为当直线ax＋y＋2＝0的倾斜角为锐角时k≥kPB，而kPB＝，即－a≥，所以a≤－；当直线ax＋y＋2＝0的倾斜角为钝角时k≤kPA，而kPA＝－，即－a≤－，所以a≥.答案∪2．过点A8，6引三条直线l1，l2，l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是y＝x，求直线l1，l3的方程．解析设直线l2的倾斜角为α，则tanα＝，于是tan＝＝＝，tan2α＝＝＝.故直线l1的方程为y－6＝x－8，即x－3y＋10＝

0.l3的方程为y－6＝x－8，即24x－7y－150＝

0.两直线平行或垂直的判定方法直线形式l1y＝k1x＋b1，l2y＝k2x＋b2l1A1x＋B1y＋C1＝0，l2A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a等于　　A．－6B．－3C．－D.解析由题意得a＝－

6.答案A►跟踪训练3．已知直线l1经过点A2，a，Ba－1，3，直线l2经过点C1，2，D－2，a＋2．1若l1∥l2，求a的值；2若l1⊥l2，求a的值．解析直线l2的斜率为k2，则k2＝＝.1若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－，又k1＝＝－1，∴a＝

3.2若l1⊥l2，

①当k2＝0时，此时a＝0，且k1＝－1，不合题意．

②当k2≠0时，l1的斜率存在，且k1＝－1，由k2·k2＝－1，可得a＝－

3.直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，注意每一种方程形式的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论．　过点P－1，0，Q0，2分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．解析当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别是x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意．当两条直线斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝kx＋1，y－2＝kx.令y＝0，得x＝－1与x＝－.由题意|－1＋|＝1，即k＝

1.∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝

0.综上可知，适合题意的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝

0.►跟踪训练4．求过点P1，2的直线，且使A2，3，B0，－5到它的距离相等的直线方程．解析x＝1显然符合条件；当A2，3，B0，－5在所求直线的同侧时，kAB＝4，∴y－2＝4x－1，即4x－y－2＝

0.综上，符合题意的直线方程为x＝1或4x－y－2＝

0.5．已知直线Ax＋By＋C＝0，1系数为什么值时方程表示通过原点的直线．2系数满足什么关系时与坐标轴都相交．3系数满足什么条件时只与x轴相交．4系数满足什么条件时是x轴．解析1把原点0，0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0；2此时斜率存在且不为零即A≠0且B≠0；3此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B＝0且C≠0；4A＝C＝0，且B≠

0.两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点，公式见下表距离类别条件公式两点间的距离Ax1，y1，Bx2，y2|AB|＝点到直线的距离Px0，y0l Ax＋By＋C＝0d＝两平行直线的距离l1Ax＋By＋C1＝0l2Ax＋By＋C2＝0d＝　　　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P4，3到直线的距离为3，求直线l的方程．解析当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得3＝，解得k＝－6±，故所求直线的方程为y＝－6±x.当直线不经过坐标原点时，设所求方程为＋＝1，即x＋y－a＝

0.由题意可得＝3，解得a＝1或a＝

13.故所求直线方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝

0.►跟踪训练6．直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值为BA．1B.C.D．2解析直线x＋y＋2＝0上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度．故dmin＝＝.7．已知两平行直线分别过点1，0和0，5，且距离为5，则它们的方程是______________________．解析设两条直线的方程分别为y＝kx－1和y－5＝kx.即kx－y－k＝0和kx－y＋5＝0，则由题意得＝5，解得k＝0或k＝，即y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝

0.答案y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0在解析几何中，对称问题有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称．1两点关于点对称，设P1x1，y1，Pa，b，则P1x1，y1关于Pa，b对称的点为P22a－x1，2b－y1，即P为线段P1P2的中点．特别地，Px，y关于原点对称的点为P′－x，－y．2两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上．必有l1∥l2，且P到l1，l2的距离相等．2．轴对称．1两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．2两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．

①三条直线l，l1，l2共点，且l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；

②l1∥l2∥l且l1到l的距离等于l2到l的距离．　已知直线l y＝3x＋3，试求1点P4，5关于直线l的对称点的坐标；2直线y＝x－2关于直线l对称的直线l1的方程；3直线l关于点A3，2对称的直线方程．解析1设点P关于直线l的对称点为P′x′，y′，则PP′的中点M在l上，且直线PP′垂直于l，即解得∴P′点的坐标为－2，7．2由已知，要求的直线l1过y＝3x＋3与y＝x－2的交点，设其方程为y－3x－3＋λy－x＋2＝

0.l上点0，3到y－x＋2＝0的距离d＝＝，l1的方程化为1＋λy－3＋λx＋2λ－3＝0，点0，3到l1的距离为d＝＝＝，∴2λ2＋8λ＋10＝λ2×2，解得λ＝－，∴符合条件的直线方程为－y－x－＝0，即7x＋y＋22＝

0.3设直线l关于点A3，2对称的直线为l3，则直线l上任一点Px1，y1关于点A的对称点P3x3，y3一定在直线l3上，反之也成立．∴解得代入l的方程后，得3x3－y3－17＝

0.即l3的方程为3x－y－17＝

0.►跟踪训练8．求直线m2x＋y－4＝0关于直线l3x＋4y－1＝0对称的直线l′的方程．解析解法一　设直线l′上的动点Px，y，直线m上的点Qx0，4－2x0，且P、Q两点关于直线l3x＋4y－1＝0对称，则有消去x0，得2x＋11y＋16＝

0.解法二　由m2x＋y－4＝0知A2，0，B0，4为m上的点，设A、B关于l的对称点为A′a，b、B′a′，b′，则有解得即A′.解得即B′.∴kl′＝＝－.∴l′的方程为y＋＝－，即2x＋11y＋16＝

0.9．从点A－4，1出发的一束光线l，经过直线l1x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B1，6，求入射光线l所在的直线方程．解析设B1，6关于直线l1的对称点为B′x0，y0，则解得∴直线AB′的方程为＝，即3x－7y＋19＝

0.∴直线l的方程为3x－7y＋19＝

0.。