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2019-2020年高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积训练案知能提升新人教A版必修41.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①a·bc-c·ab=0;
②|a|-|b||a-b|;
③b·ca-c·ab不与c垂直;
④3a+2b·3a-2b=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有 A.
①② B.
②③C.
③④D.
②④解析选D.因为a·bc是与c共线的向量,c·ab是与b共线的向量,所以a·bc与c·ab不一定相等,排除
①.因为[b·ca-c·ab]·c=b·ca·c-c·ab·c=0,所以b·ca-c·ab与c垂直,所以排除
③,故选D.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为 A.B.C.D.解析选C.因为a·b=|a||b|cosθ,所以1×4cosθ=2,即cosθ=.又因为θ∈[0,π],所以θ=.3.已知a与b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于 A.B.C.D.4解析选C.因为|a|=|b|=1,又a与b的夹角为60°,所以|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=1+6×cos60°+9=
13.即|a+3b|=.4.在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则λ等于 A.B.C.D.解析选B.由题意知·=0,即·+=0,所以·+λ=0,所以λ=-=-=,故选B.5.若向量a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则|a-b-c|的最小值为 A.-1B.1C.+1D.解析选A.因为a,b,c均为单位向量,且a⊥b,所以a·b=0,所以|a-b|===,所以|a-b-c|≥|a-b|-|c|=-
1.6.已知单位向量e1,e2的夹角为120°,则|2e1-e2|=________.解析|2e1-e2|==eq\r4e-4e1·e2+e==.答案7.在等腰△ABC中,AB=AC=1,B=30°,则向量在向量上的投影等于________.解析因为等腰△ABC中,AB=AC=1,B=30°,所以∠BAC=120°,因此向量在向量上的投影为||cos120°=-.答案-8.已知a,b,c为单位向量,且满足3a+λb+7c=0,a与b的夹角为,则实数λ=________.解析由3a+λb+7c=0,可得7c=-3a+λb,即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而a,b,c为单位向量,则a2=b2=c2=1,则49=9+λ2+6λcos,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=
5.答案-8或5设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且a与b具有关系|ka+b|=|a-kb|k0.1a与b能垂直吗?2若a与b的夹角为60°,求k的值.解1因为|ka+b|=|a-kb|,所以ka+b2=3a-kb2,且|a|=|b|=1,即k2+1+2ka·b=31+k2-2ka·b,所以a·b=.因为k2+1≠0,所以a·b≠0,即a与b不垂直.2因为a与b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,所以a·b=|a||b|cos60°=.所以=.所以k=
1.10.设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b|=.1求|a+3b|的值;2求3a-b与a+3b夹角的正弦值.解1由|3a-b|=得3a-b2=5,所以9a2-6a·b+b2=
5.因为a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,所以9-6a·b+1=5,所以a·b=.所以a+3b2=a2+6a·b+9b2=1+6×+9×1=
15.所以|a+3b|=.2设3a-b与a+3b的夹角为θ.因为3a-b·a+3b=3a2+8a·b-3b2=3×1+8×-3×1=.所以cosθ===.因为0°≤θ≤180°,所以sinθ===.所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为.[B.能力提升]
1.如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC.若||=a,||=b,则·= A.a2-b2B.b2-a2C.a2+b2D.a·b解析选B.因为⊥,所以在方向上的投影为||·cos∠CAD=||,又⊥,所以在方向上的投影为||·cos∠CAB=||.所以·=·-=·-·=||||-||||=b2-a
2.2.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则= A.2 B.4C.5D.10解析选D.=====-6=42-6=
10.3.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________.解析根据题意,得======.因为+≥,所以0≤4,所以0≤
2.故的最大值为
2.答案24.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.解析设AB的长为aa0,又因为=+,=+=-,于是·=+·=·-2+2=-a2+a+1,由已知可得-a2+a+1=
1.又a0,所以a=,即AB的长为.答案
5.如图,在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,如果AM=2,求·+的最值.解因为+=2,所以·+=·2=2||||·cos180°=-2||||,||+||=2,设||=t0≤t≤2⇒||=2-t.所以·+=-22-tt=2t2-4t=2t-12-20≤t≤2.所以当t=1时,·+取得最小值-
2.当t=0或2时,·+取得最大值
0.6.选做题已知非零向量a、b,设其夹角为θ,是否存在θ,使得|a+b|=|a-b|成立,若存在,求出θ的取值范围,若不存在,请说明理由.解假设存在满足条件的θ,由|a+b|=|a-b|可得a+b2=3a-b2,即|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2-2a·b+|b|2⇒|a|2-4a·b+|b|2=0⇒|a|2-4|a|·|b|cosθ+|b|2=
0.已知向量a、b为非零向量,则|b|≠0,上式同除以|b|2得到-4cosθ+1=0,由Δ≥0得到-4cosθ2-4≥0,解得cosθ≤-或cosθ≥,又知cosθ∈[-1,1],则-1≤cosθ≤-或≤cosθ≤1,因为θ∈[0,π].所以θ∈∪满足题意.因此,当θ∈∪时,使得|a+b|=|a-b|.。