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2019-2020年高中数学第二章平面向量本章小结新人教A版必修4►专题归纳用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加减法、数乘向量外,还应充分利用平面几何的一些定理.►例题分析 例1△ABC中如图所示,=,DE∥BC交AC于E,AM是BC边上的中线交DE于N,设=a,=b,用a,b分别表示向量、、、、、.分析用向量的加减法和数乘向量运算解答本题.本题是向量加减法和数乘向量的混合运算,在进行计算时要充分利用DE∥BC⇒△ADE∽△ABC,△ADN∽△ABM.解析⇒==b,=-=b-a,由△ADE∽△ABC,得==,由AM是△ABC中线,DE∥BC,∴==,==,由△ADN∽△ABM,=,得==.►跟踪训练
1.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=AA.b+c B.c-bC.b-cD.b+c►专题归纳有关向量平行或共线的问题,常用共线向量定理a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=
0.►例题分析 例2已知a=,b=,若ka+2b与2a-b平行,求实数k的值.解析∵ka+2b=k+2=,2a-b=2-=,又ka+2b与2a-b平行,∴-×5=
0.解得k=-
4.点评有关向量的共线问题,可以运用“向量b与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b=λa”,也可以运用向量共线的坐标表达式“a=,b=共线⇔x1y2-x2y1=0”.►跟踪训练2.已知向量a=,b=,若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是DA.-2 B.0 C.1 D.2解析方法一 因为a=,b=,所以a+b=,4b-2a=,由于a+b与4b-2a平行,得6x+1-34x-2=0,解得x=
2.方法二 因为a+b与4b-2a平行,则存在常数λ,使a+b=λ4b-2a,即a=b,根据向量共线的条件知,向量a与b共线,故x=
2.3.已知向量a=1,k,b=9,k-6.若a//b,则实数k=________.答案-►专题归纳1.有关向量的垂直问题,常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=
0.2.求夹角问题,用夹角公式cosθ==eq\fx1x2+y1y2\rx+y·\rx+yθ为a,b的夹角.►例题分析例3 已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.分析将已知与所求分别进行语言转化,从中找到联系.由已知垂直得到两式,而由所求夹角可知须有数量积及模的乘积,从而考虑从已知推出的关系.解析由已知得a+3b·7a-5b=0,a-4b·7a-2b=0,即7a2+16a·b-15b2=0,7a2-30a·b+8b2=0,两式相减得2a·b=b2,代入其中一式,得=.∴cosθ===,又θ∈,所以θ=60°.点评求两向量的夹角,要通过求得a·b及,或它们的关系式.注意两向量的夹角的取值范围是.►跟踪训练4.已知a=,b=,向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为AA.- B. C.- D.解析λa+b=-3λ-1,2λ,a-2b=-1,2,∵λa+b⊥a-2b,∴-3λ-1,2λ·-1,2=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-,故选A.5.已知|a|=1,|b|=6,a·=2,则向量a与向量b的夹角是CA.B.C.D.解析由条件得a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3⇒cosθ=3⇒cosθ=⇒θ=.6.已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2若a·b=0,则k的值为________.答案►专题归纳利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法1=a2=a·a;2=a2±2a·b+b2;3若a=,则=.►例题分析例4 1已知向量a和b的模都是2,其夹角为60°,又知=a+2b,=-2a+b,试求P、Q两点间的距离;2已知=4,=8,a与b的夹角是120°,求及的值.解析1=-=-3a-b,=·==9a2+6a·b+b
2.∵==2,a·b=cos60°=2,∴=9a2+6a·b+b2=9×4+6×2+4=
52.∴=
2.2a·b=cos120°=4×8×=-
16.=a2+2a·b+b2=16+2×+64=48,∴=4,=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×+4×64=3×162,∴=
16.点评通过求向量的平方来求向量的模.►跟踪训练7.平面向量a与b的夹角为60°,a=,=1则=BA. B.2 C.4 D.12解析由已知=2,所以=a2+4a·b+4b2=12,故=
2.8.已知向量a=,a·b=10,=5,则=CA.B.C.5D.25解析本题考查平面向量数量积的运算和性质,由=5知=a2+2a·b+b2=50得=5,故选C.。