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2019-2020年高中数学第二讲参数方程本讲小结新人教A版选修4-4
一、基本内容简介1.参数方程.
2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程1过点Mx0,y0,倾斜角为α的直线l t为参数.普通方程y-y0=tanαx-x0或x=x
0.t的几何意义直线l上任一点P不同于M点为终点,M为起点的有向线段MP的长度.2以原点为圆心,半径为r的圆φ为参数.普通方程x2+y2=r
2.3中心在原点,长轴长为2a,短轴长为2b,焦点在x轴上的椭圆φ为参数.普通方程+=1a>b>0.4中心在原点,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦点在x轴上的双曲线φ为参数.普通方程-=1a>0,b>0.5顶点在原点,x轴为对称轴,开口向右且焦点到准线的距离为p的抛物线p>0,t为参数.普通方程y2=2pxp>0.6圆的渐开线方程φ为参数.7摆线的参数方程φ为参数.3.直线参数方程的一般形式及应用过定点Mx0,y0的直线l的一般形式其中t为参数,a、b为常数且满足a2+b2≠
0.当a2+b2=1时,t才具有几何意义.
①求直线l被二次曲线fx,y=0截得的弦长|PQ|.将直线l的参数方程代入曲线方程得到关于t的二次方程At2+Bt+C=0A≠0,则|PQ|=·.
②普通方程当a=0时,x=x0;当a≠0时,y-y0=x-x0.
二、学习参数方程重点注意的几点1.关于参数方程的学习,首先要正确理解曲线的参数方程的概念,注意掌握课本中讲到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程这三个内容新教材中也有、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程.2.由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握,因此要善于消去参数,把参数方程化为普通方程,进而可以再研究曲线的几何性质.消去参数的常用方法有
①代入消参法;
②三角消参法;
③根据参数方程的特征,采用消参的手段.3.参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标x,y中的x和y分别用第三个变量t来表示,因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y,转化为t的方程或t的函数问题了.4.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用,要注意合理选参、巧妙消参.5.参数既是刻画变化状态的工具,又是揭示问题中内在联系的媒介,确立参数思想是提高数学能力的重要环节,一些解析几何问题,适当地引进参数后,问题的难度明显降低.但参数方程只是曲线方程多种形式的一种,利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处,但也不是任何问题参数法就比其他解法优越,因此,复习中应要求恰当,既不能简单处理,也不宜要求过高.在求动点轨迹方程的综合问题中,常用参数法.其步骤为1选参数并确定参数的取值范围;2建立参数与x、y的函数关系;3消参数并整理得普通方程.6.在选择参数时,要注意以下几点1参数应与动点坐标x、y有直接关系,且x、y便于用参数表示.2选择的参数要便于使问题中的条件解析化.3对于所选定的参数,要注意其取值范围,并能确定参数对x、y取值范围的制约.4若求轨迹,应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程.7.提高利用转化解题的意识.建立曲线方程时,可先引入参数,建立起参数方程,再化为普通方程;同样地,在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时,又往往化为普通方程来求解.这一转化过程能降低解题难度,是一个有效的过程,在解题时应善于应用.。