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文本内容:
2019-2020年高中数学
4.
1.1导数与函数的单调性二教案北师大选修1-1教学过程一.创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用二.新课讲授1.问题图
(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图
(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图
3.3-3,导数表示函数在点处的切线的斜率.(图
3.3-3)在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.结论函数的单调性与导数的关系在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.说明
(1)特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数.3.求解函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数的下列信息当时,;当,或时,;当,或时,试画出函数图像的大致形状.解当时,,可知在此区间内单调递增;当,或时,;可知在此区间内单调递减;当,或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数图像的大致形状如图
3.3-4所示.例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1);
(2)
(3);
(4)解
(1)因为,所以,因此,在R上单调递增,如下图所示.
(2)因为,所以,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减;函数...。