还剩2页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高中数学必修2B柱、锥、台和球的体积一教学目标了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程
(一)祖暅原理祖暅音gèng,一名祖暅之,是祖冲之的儿子,他的活动时期大约在公元504—526年.祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献.祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙.根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释,下面我们使用现代的术语,并将原来的图形略加修改,把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下作一个几何体V1.底面OABC是一个正方形,边长为r图2-18.高取一点S,过点S与底面平行的截面为SPQR,设它的边长为a,OS为h,则截面面积a2=r2-h2.另取一个边长为r的正方体V2图2-19,连结O′D′,O′C′,O′A′,锥体O′-A′B′C′D′记作V3,V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体.下面来证明V1=V2-V3.设平行于底面与底面距离为h的平面,截V2的截面是正方形P′TS′M,面积等于r2,截V3的截面是正方形Q′TR′N,面积等于h2因为Q′T=O′T=h,所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M,它的面积等于r2-h2.比较V1与V2-V3在等高h处的截面,它们的面积都是r2-h2,因此体积相等,即V1=V2-V3.祖暅原理的原文是“幂势既同,则积不容异.”“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体,如果与底等距离的截面积总相等,那么几何体的体积相等.这就是现在说的夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.积为V4是未知数.和V1比较,在高h处的截面积C″EF是以a为半祖暅提出的“幂势既同,则积不容异”,及“体积之比等于对应截面积之比”,在这里是当作公理使用.提法“幂势既同,则积不容异”,在西方通常叫做“卡瓦列利原理”Cavalierisches,Prinzip.卡瓦列利[米兰Milan现意大利城市人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于1635年.
(二)长方体的体积
(三)利用祖暅...。