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2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第十三章排列组合与概率
一、基础知识1.加法原理做一件事有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法2.乘法原理做一件事,完成它需要分n个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法,……,第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法3.排列与排列数从n个不同元素中,任取mm≤n个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中取出m个m≤n元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示,=nn-1…n-m+1=其中mn∈Nm≤n注一般地=1,0!=1,=n!4.N个不同元素的圆周排列数为=n-1!5.组合与组合数一般地,从n个不同元素中,任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示6.组合数的基本性质
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)7.定理1不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射反之B中每一个解x1x2…xn将xi作为第i个盒子中球的个数,i=12…n,便得到A的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n份,共有种故定理得证推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为8.二项式定理若n∈N+则a+bn=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数9.随...。