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2019-2020年高中数学第2章函数
2.2-
2.
2.2函数的奇偶性练习苏教版必修1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A.y=-x2+5x∈RB.y=-xC.y=x3x∈RD.y=-x∈R,x≠0解析函数y=-x2+5x∈R既有增区间又有减区间;y=-x是减函数;y=-x∈R,x≠0不是定义域内的增函数;只有y=x3x∈R满足条件.答案C2.函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx=-x+1,则当x<0时,fx的解析式为 A.fx=-x+1B.fx=-x-1C.fx=x+1D.fx=x-1解析设x<0,则-x>
0.所以f-x=x+1,又函数fx是奇函数.所以f-x=-fx=x+
1.所以fx=-x-1x<0.答案B3.若函数fx=为奇函数,则a等于 A.B.C.D.1解析因为f-x=-fx,所以=-.所以2a-1x=
0.所以a=.故选A.答案A4.已知fx=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.-B.C.D.-解析因为fx=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以f-x=fx.所以b=
0.又a-1=-2a,所以a=.所以a+b=.答案B5.xx·课标全国Ⅰ卷设函数fx,gx的定义域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则下列结论中正确的是 A.fxgx是偶函数B.|fx|gx是奇函数C.fx|gx|是奇函数D.|fxgx|是奇函数解析fx为奇函数,gx为偶函数,则f-x|g-x|=-fx|gx|.所以y=fx|gx|为奇函数.答案C6.设偶函数fx的定义域为R,当x∈[0,+∞时,fx是增函数,则f-2,fπ,f-3的大小关系是 A.fπ>f-3>f-2B.fπ>f-2>f-3C.fπ<f-3<f-2D.fπ<f-2<f-3解析因为fx是偶函数,则f-2=f2,f-3=f3,又当x≥0时,fx是增函数,所以f2<f3<fπ,从而f-2<f-3<fπ.答案A7.如图所示,给出奇函数y=fx的局部图象,则f-2的值是________.解析利用f-2=-f2或作出函数y=fx在区间[-2,0]上的图象关于原点中心对称可知,f-2=-.答案-8.已知fx是奇函数,且x≥0时,fx=x1-x.则当x<0时,fx=________.解析当x<0时,-x>0,又因为fx是奇函数,所以fx=-f-x=-[-x1+x]=x1+x.答案x1+x9.已知函数fx=k-2x2+k-1x+3是偶函数,则fx的单调递增区间是________.解析因为fx为偶函数,所以图象关于y轴对称,即k=1,此时fx=-x2+3,其单调递增区间为-∞,0.答案-∞,010.已知函数y=fx为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程fx=0的所有实根之和为________.解析由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为
0.答案011.已知函数fx和gx满足fx=2gx+
1.且gx为R上的奇函数,f-1=8,求f1.解因为f-1=2g-1+1=8,所以g-1=.又因为gx为奇函数,所以g-1=-g1.所以g1=-g-1=-.所以f1=2g1+1=2×+1=-
6.12.判断函数fx=的奇偶性.解函数的定义域是-∞,0∪0,+∞,关于原点对称.1当x>0时,-x<0,则f-x=-x3+3-x2-1=-x3+3x2-1=-x3-3x2+1=-fx;2当x<0时,-x>0,则f-x=-x3-3-x2+1=-x3-3x2+1=-x3+3x2-1=-fx,由12知,对任意x∈-∞,0∪0,+∞,都有f-x=-fx,故fx为奇函数.B级 能力提升13.已知fx是奇函数,gx是偶函数,且f-1+g1=2,f1+g-1=4,则g1等于 A.4B.3C.2D.1解析因为fx是奇函数,所以f-1=-f1.又gx是偶函数,所以g-1=g1.因为f-1+g1=2,所以g1-f1=
2.
①又f1+g-1=4,所以f1+g1=
4.
②由
①②,得g1=
3.答案B14.已知定义域为R的函数fx在区间8,+∞上为减函数,且函数y=fx+8为偶函数,则 A.f6>f7B.f6>f9C.f7>f9D.f7>f10解析因为函数y=fx+8为偶函数,其对称轴是y轴,所以y=fx的对称轴是直线x=
8.所以f7=f9,又y=fx在区间8,+∞上是减函数.所以f9>f10,故f7>f10.答案D15.若函数fx=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.解析因为函数fx=x2-|x+a|为偶函数,所以f-x=fx,则-x2-|-x+a|=x2-|x+a|.所以|-x+a|=|x+a|,即|x-a|=|x+a|.所以a=
0.答案016.已知函数fx=x2-2|x|.1判断并证明函数的奇偶性;2判断函数fx在区间-1,0上的单调性并加以证明.解1函数fx是偶函数,定义域为R.因为f-x=-x2-2|-x|=x2-2|x|=fx,所以函数fx是偶函数.2fx在区间-1,0上是增函数.证明如下当x∈-1,0时,fx=x2-2|x|=x2+2x.设-1<x1<x2<0,则x1-x2<0,且x1+x2>-2,即x1+x2+2>
0.因为fx1-fx2=x-x+2x1-x2=x1-x2x1+x2+2<0,所以fx1<fx2.故fx在区间-1,0上是增函数.17.设函数fx在R上是偶函数,在区间-∞,0上递增,且f2a2+a+1<f2a2-2a+3,求实数a的取值范围.解由fx在R上是偶函数,在区间-∞,0上递增,可知fx在0,+∞上递减.因为2a2+a+1=2+>0,2a2-2a+3=2+>0,且f2a2+a+1<f2a-2a+3,所以2a2+a+1>2a2-2a+3,即3a-2>0,解得a>.故a的取值范围是.18.已知函数fx是定义域为R的奇函数,当x>0时,fx=x2-2x.1求出函数fx在R上的解析式;2画出函数fx的图象.解1
①由于函数fx是定义域为R的奇函数,则f0=0;
②当x<0时,-x>0,因为fx是奇函数,所以f-x=-fx.所以fx=-f-x=-[-x2-2-x]=-x2-2x.综上fx=2图象如图所示.。