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2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版选修41.定理1对任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.2.定理2两个正数的平均值不等式对任意两个正数a,b,有≥,当且仅当a=b时取“=”号.我们称为正数a与b的算术平均值,为正数a与b的几何平均值;因此定理2又可叙述为两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.3.定理3对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时取“=”号.4.定理4三个正数的平均值不等式对任意三个正数a,b,c,有≥,当且仅当a=b=c时取“=”号.这个定理可以叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.5.定理24的推广一般地,对n个正数a1,a2,…,ann≥2,数值,,分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值.且有≥.当且仅当a1=a2=…=an时,取“=”号,即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.1.如何利用求差法证明定理2提示因为-=≥0,所以≥.2.由定理1与定理2能得到以下结论吗?1+≥2a,b同号;2≤≤≤a,b∈R+;3ab≤2≤a0,b0.提示可以.3.利用定理24求最值需满足什么条件?提示“一正二定三相等”.[对应学生用书P13]用平均值不等式证明不等式[例1] 1已知a,b,c∈R,求证a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2;2设a,b,c都是正数,求证++≥a+b+c.[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识,同时考查推理论证能力.解答此题需要先观察所求式子的结构,然后拆成平均值不等式的和,再进行证明.[精解详析] 1a4+b4≥2a2b2,同理a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2,将以上三个不等式相加得a4+b4+a4+c4+b4+c4≥2a2b2+2a2c2+2b2c2,即a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c
2.2∵当a>0,b>0时,a+b≥2,∴+≥2=2c.同理+≥2=2b,+≥2=2a.将以上三个不等式相加得
2...。