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2019-2020年高中数学第一章计数原理
1.
2.2组合与组合数公式1学案新人教A版选修[学习目标]1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.[知识链接]1.排列与组合有什么联系和区别?答 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素;不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果.2.两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?答 两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合是只要元素相同,不看元素顺序如何.[预习导引]1.组合的概念一般地,从n个不同元素中取出mm≤n个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数的概念从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.3.组合数公式C=eq\fAA==n,m∈N*,m≤n.要点一 组合概念的理解例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.110人相互通一次电话,共通多少次电话?210支球队以单循环进行比赛每两队比赛一次,共进行多少场次?3从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法?4从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?解 1是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C=
45.2是组合问题,因为每两支球队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别,组合数为C=
45.3是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别,组合数为C=
120.4是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的,排列数为A=
720.规律方法 排列、组合问题的判断方法1区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序.2区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.跟踪演练1 判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来.1若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少?28人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?3在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?解 1已知集合的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关,是组合问题,共有C个.2发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了A个电子邮件.3飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题,有A种飞机票;票价只与两站的距离有关,故票价的种数是组合问题,有C种票价.要点二 组合数公式的应用例2 1计算C+C+C;2求值C+C;3解方程C=C.解 1C+C+C=C+C=C=C=5050;2由组合数定义知∴4≤n≤5,又∵n∈N*,∴n=4或
5.当n=4时,C+C=C+C=5;当n=5时,C+C=C+C=
16.3由原方程及组合数性质可知3n+6=4n-2,或3n+6=18-4n-2,∴n=2,或n=8,而当n=8时,3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去.因此n=
2.规律方法1公式C=eq\fAA=,一般用于求值计算;2公式C=m,n∈N*,且m≤n,一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.3根据题目特点合理选用组合数的两个性质C=C,C=C+C,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.跟踪演练2 1计算C+C;2求C+C的值;3证明C=C.1解 C+C=C+C=+200=4950+200=
5150.2解 由组合数定义知即∴≤n≤,∵n∈N*,∴n=10,∴C+C=C+C=C+C=+31=
466.3证明 C=·==C.要点三 组合的简单应用例3 一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球.1共有多少种不同的取法?2其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?3其中不含红球,共有多少种不同的取法?解 1从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是C=C==
56.2从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成第一步,从7个白球中任取4个白球,有C种取法;第二步,把1个红球取出,有C种取法.故不同取法的种数是C·C=C=C=
35.3从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5个白球即可,不同取法的种数是C=C==
21.规律方法 基本组合问题的解法1判断是否为组合问题;2是否分类或分步;3根据组合相关知识进行求解.跟踪演练3 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.1现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?2选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?3现要从中选出男、女老师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?解 1从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C==45种.2可把问题分两类情况第一类,选出的2名是男教师有C种方法;第二类,选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法原理,共有C+C=15+6=21种不同选法.3从6名男教师中选2名的选法有C种,从4名女教师中选2名的选法有C种,根据分步乘法计数原理,共有选法C×C=×=90种.1.已知C=10,则n的值等于 A.10B.5C.3D.2答案 B2.给出下列问题
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?
②有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法?
③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?其中是组合问题的个数是 A.0B.1C.2D.3答案 C3.下列等式不正确的是 A.C=B.C=CC.C=CD.C=C答案 D4.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种.结果用数值表示答案 7解析 设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.由题意,得C·C≥200,从而有C≥
20.即xx-1≥
40.又x≥2,所以x的最小值为
7.1.排列与组合的联系与区别1联系二者都是从n个不同的元素中取mm≤n个元素.2区别排列问题中元素有序,组合问题中元素无序.2.关于组合数的计算1涉及具体数字的可以直接用公式C=eq\fAA=计算;2涉及字母的可以用阶乘式C=计算;3计算时应注意利用组合数的性质C=C简化运算.
一、基础达标1.下列计算结果为21的是 A.A+CB.CC.AD.C答案 D2.下面几个问题中属于组合问题的是
①由1,2,3,4构成的双元素集合;
②5个队进行单循环足球比赛的分组情况;
③由1,2,3构成两位数的方法;
④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法.A.
①③B.
②④C.
①②D.
①②④答案 C3.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3点均不共线,则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为 A.3B.4C.12D.24答案 B解析 C=
4.4.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 A.A种B.C种C.CA种D.30种答案 B解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C.5.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________种.答案 96解析 甲选2门有C种选法,乙选3门有C种选法,丙选3门有C种选法.∴共有C·C·C=96种选法.6.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法有________种.答案 70解析 根据结果分类第一类,两台甲型机,有C·C=30;第二类,两台乙型机,有C·C=
40.根据分类加法计数原理,共有C·C+C·C=
70.7.直线x=1,y=x,将圆x2+y2=4分成A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给他们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?解 第1步,涂A区域有C种方法;第2步,涂B区域有C种方法;第3步,涂C区域和D区域;若C区域涂A区域已填过颜色,则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B剩余3种颜色之一,即有C种涂法,则D区域有C种涂法.故共有C·C·4+C·C=260种不同的涂色方法.
二、能力提升8.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数有 A.35B.70C.210D.105答案 B解析 先从7人中选出3人有C=35种情况,再对选出的3人相互调整座位,共有2种情况,故不同的调整方案种数为2C=
70.9.xx·山东用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243B.252C.261D.279答案 B解析 所有三位数的个数为9×10×10=
900.没有重复数字的三位数有CA=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=
252.10.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.答案 1∶2解析 ∵m=C,n=A,∴m∶n=1∶
2.11.设x∈N*,求C+C的值.解 由题意可得解得2≤x≤4,∵x∈N*,∴x=2或x=3或x=
4.当x=2时原式的值为4;当x=3时原式的值为7;当x=4时原式的值为
11.∴所求的值为4或7或
11.12.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有次品为止.1若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?2若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?解 1先排前4次测试,只能取正品,有A种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C·A=A种测法,再排余下4件的测试位置,有A种测法.所以共有不同测试方法A·A·A=103680种.2第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C·C·CA=576种.
三、探究与创新13.第21届世界杯足球赛于xx年夏季在俄罗斯举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强每队均与本组其他队赛一场,各组
一、二名晋级16强,这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?解 可分为如下几类比赛1小组循环赛每组有C=6场,8个小组共有48场;2八分之一淘汰赛8个小组的第
一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;3四分之一淘汰赛根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;4半决赛根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;5决赛2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第
三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64场比赛.。