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2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换
3.
1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一课时作业新人教版必修
1.sin245°sin125°+sin155°sin35°的值是 A.-B.-C.D.解析 原式=-sin65°sin55°+sin25°sin35°=-cos25°cos35°+sin25°sin35°=-cos35°+25°=-cos60°=-.答案 B
2.已知0αβπ,又sinα=,cosα+β=-,则sinβ= A.0B.0或C.D.0或-解析 ∵0αβπ,sinα=,cosα+β=-,∴cosα=,sinα+β=或-.∴sinβ=sin[α+β-α]=sinα+βcosα-cosα+β·sinα=或
0.∵βπ,∴sinβ=.答案 C
3.已知cosαcosβ-sinαsinβ=0,那么sinαcosβ+cosαsinβ的值为 A.-1B.0C.1D.±1解析 cosαcosβ-sinαsinβ=cosα+β=
0.∴α+β=kπ+,k∈Z,∴sinαcosβ+cosαsinβ=sinα+β=±
1.答案 D
4.已知锐角α、β满足sinα=,cosβ=,则α+β=________.解析 ∵α,β为锐角,sinα=,cosβ=,∴cosα=,sinβ=.cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.∵0α+βπ,∴α+β=π.答案
5.化简sin+cos的结果是________.解析 原式=sincosα+cossinα+coscosα-sinsinα=cosα.答案 cosα
6.求下列各式的值.1cos105°cos15°-sin75°sin15°;2;解 1cos105°cos15°-sin75°sin15°=cos90°+15°cos15°-sin90°-15°sin15°=-sin15°cos15°-cos15°sin15°=-sin15°cos15°+cos15°sin15°=-sin15°+15°=-sin30°=-.2∵sin15°=sin45°-30°=sin45°cos30°-cos45°sin30°=,cos15°=,∴==.
7.已知函数fx=2sin,x∈R.1求f的值;2设α、β∈,f=,f3β+2π=,求cosα+β的值.解 1f=2sin=2sin=;2由f=得2sinα=,即sinα=,由f3β+2π=得2sin=,从而cosβ=,又∵α、β∈,∴cosα==,sinβ==,∴cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.
8.已知sin2α+β=3sinβ,求证tanα+β=2tanα.证明 sin2α+β=3sinβ⇒sin[α+β+α]=3sin[α+β-α]⇒sinα+βcosα+cosα+βsinα=3sinα+βcosα-3cosα+βsinα⇒2sinα+βcosα=4cosα+βsinα⇒tanα+β=2tanα.能力提升
9.若函数fx=1+tanxcosx,0≤x,则fx的最大值为 A.1B.2C.1+D.2+解析 fx=1+tanxcosx=cosx+sinx=2cosx+sinx=2sinx+,∵0≤x,∴≤x+.∴fxmax=
2.答案 B
10.在三角形ABC中,三内角分别是A、B、C,若sinC=2cosAsinB,则三角形ABC一定是 A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析 ∵sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=
0.即sinA-B=0,∴A=B.答案 C
11.=________.解析 原式====2-.答案 2-
12.已知α,β为锐角,且sinα=,cosβ=,则α-β=________.解析 因α,β为锐角,sinα=,cosβ=,所以cosα=,sinβ=,所以sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=-.因为α,β∈,所以-α-β,所以α-β=-.答案 -
13.已知向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,|a-b|=.1求cosα-β的值;2若0α,-β0且sinβ=-,求sinα的值.解 1∵a-b=cosα-cosβ,sinα-sinβ,∴|a-b|2=cosα-cosβ2+sinα-sinβ2=2-2cosα-β,∴=2-2cosα-β,∴cosα-β=.2∵0α,-β0且sinβ=-,∴cosβ=且0α-βπ.又∵cosα-β=,∴sinα-β=.∴sinα=sin[α-β+β]=sinα-β·cosβ+cosα-β·sinβ=×+×=.探究创新
14.证明sinα+βsinα-β=sin2α-sin2β,并利用该式计算sin220°+sin80°·sin40°的值.证明 左边=sinα+βsinα-β=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α1-sin2β-1-sin2αsin2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β=sin2α-sin2β=右边.∴sinα+βsinα-β=sin2α-sin2β.∴sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin60°+20°·sin60°-20°=sin220°+sin260°-sin220°=sin260°=.。