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2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换课时作业新人教版必修
1.已知|cosθ|=,且<θ<3π,则sin,cos,tan的值分别为 A.-,,2B.-,-,2C.,-,2D.-,-,-2解析 因为|cosθ|=,<θ<3π,所以cosθ=-,<<.由cosθ=1-2sin2,得sin=-=-=-.又cosθ=2cos2-1,cos=-=-,所以tan==
2.答案 B
2.使函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ为奇函数的θ的一个值是 A.B.C.D.解析 fx=sin2x+θ+cos2x+θ=2sin.当θ=π时,fx=2sin2x+π=-2sin2x为奇函数.答案 D
3.函数fx=sinx-cosxx∈[-π,0]的单调递增区间是 A.B.C.D.解析 fx=2sin,fx的单调递增区间为k∈Z,因为x∈[-π,0],所以令k=0得单调递增区间为.答案 D
4.函数fx=2sinsin的最大值等于________.解析 fx=2sin=sinx-sin2=sinx-=sinx+cosx-=sin-.∴fxmax=.答案
5.函数fx=sin-2sin2x的最小正周期是______.解析 fx=sin2x-cos2x-1-cos2x=sin2x+cos2x-=sin-,∴T==π.答案 π
6.fx=sin-2cos2x+
1.1求fx的最小正周期.2gx与fx的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,gx的最大值.解 1fx=sinx-cosx-cosx=sinx-cosx=sinT==
8.2gx=f2-x=sin=sin=-sin∵x∈,∴x-∈∴sin∈∴y=gx的最大值为-×-=.
7.已知向量m=cosθ,sinθ和n=-sinθ,cosθ,θ∈π,2π,且|m+n|=,求cos的值.解 m+n=cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ,∵πθ2π,∴+.∴cos
0.由已知|m+n|=,得|m+n|=====2=2=-2cos=,∴cos=-.
8.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,求cos的值.解 因为α为钝角,β为锐角,sinα=,sinβ=,cosα=-,cosβ=,所以cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ=-×+×=.因为απ,0β,所以0α-βπ,0,又cosα-β=2cos2-1,所以cos==,
9.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是 A.B.-C.D.4解析 y=2cosx-3sinx==sinφcosx-cosφsinx=sinφ-x,当sinφ-x=1,即φ-x=2kπ+k∈Z时,y取到最大值.∴φ=2kπ++xk∈Z,∴sinφ=cosx,cosφ=-sinx,∴cosx=sinφ=,sinx=-cosφ=-.∴tanx=-.答案 B
10.若cosα=-,α是第三象限角,则等于 A.-B.C.2D.-2解析 ∵α是第三象限角,cosα=-,∴sinα=-.∴===·===-.答案 A
11.若8sinα+5cosβ=6,8cosα+5sinβ=10,则sinα+β=________.解析 ∵8sinα+5cosβ2+8cosα+5sinβ2=64+25+80sinαcosβ+cosαsinβ=89+80sinα+β=62+102=
136.∴80sinα+β=47,∴sinα+β=.答案
12.函数fx=cos2x+sinxcosx的最大值是________.解析 fx=+sin2x=+=+sin,所以当sin=1时,fx取得最大值.答案 +
113.设向量a=,b=cosx,sinx,x∈.1若|a|=|b|.求x的值;2设函数fx=a·b,求fx的最大值.解 1由|a|2=sinx2+sinx2=4sin2x,|b|2=cosx2+sinx2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=
1.又x∈,从而sinx=,所以x=.2fx=a·b=sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+当x=∈时,sin取最大值1,所以fx的最大值为.探究创新
14.设函数fx=cos+sin2x.1求fx的最小正周期;2设函数gx对任意x∈R,有g=gx,且当x∈时,gx=-fx,求gx在区间[-π,0]上的解析式.解 1fx=cos+sin2x=+=-sin2x,故fx的最小正周期为π.2当x∈时,gx=-fx=sin2x,故
①当x∈时,x+∈.由于对任意x∈R,g=gx,从而gx=g=sin=sinπ+2x=-sin2x.
②当x∈时,x+π∈.从而gx=gx+π=sin[2x+π]=sin2x.综合
①,
②得gx在[-π,0]上的解析式为gx=。