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2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式
3.3排序不等式课后训练新人教A版选修1.已知a,b,c∈R+,则a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab的正负情况是 .A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c则__________.填“≥”或“≤”3.已知a,b,c都是正数,则________.4.设x,y,z∈R+,求证.5.设a,b,c为某三角形三边长,求证a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≤3abc.6.设a,b,c是正实数,求证.7.设a,b,c都是正实数,用排序不等式证明.8.设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn为任意两组实数,如果a1≤a2≤…≤an,且b1≤b2≤…≤bn,求证当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,等号成立.设a,b,c∈R+,求证.参考答案
1.答案B解析设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab≥
0.
2.答案≥解析不妨设a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式可得aA+bB+cC≥aA+bB+cC,aA+bB+cC≥aB+bC+cA,aA+bB+cC≥aC+bA+cB.将以上三个式子两边分别相加,得3aA+bB+cC≥a+b+cA+B+C=a+b+cπ,所以.
3.答案解析设a≥b≥c>0,所以.由排序原理,知,
①.
②①+
②,得.
4.证明所证不等式等价于.不妨设x≤y≤z,则x2≤y2≤z2,x+y≤x+z≤y+z.则.于是上式的左边为顺序和,右边为乱序和,由排序不等式知此式成立.
5.证明不妨设a≥b≥c>
0.易证ab+c-a≤bc+a-b≤ca+b-c.根据排序原理,...。