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2019-2020年高中数学第二章参数方程复习课检测含解析新人教A版选修1.参数方程化为普通方程的易错点将参数方程化为普通方程时,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致.2.圆锥曲线中的三点注意事项1注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆.2把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x或y的变化.3利用参数方程的参数求轨迹方程时,注意参数的特殊取值.3.关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式.4.圆的渐开线和摆线的两个易错点1对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误.2弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误.专题一 求曲线的参数方程用参数方程求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当的参数作为中间变量,使动点横、纵坐标分别与参数有关,从而得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关,那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量.[例1] 过点P-2,0作直线l与圆x2+y2=1交于A、B两点,设A、B的中点为M,求M的轨迹的参数方程.解设Mx,y,Ax1,y1,Bx2,y2,直线l的方程为x=ty-
2.由消去x得1+t2y2-4ty+3=
0.所以y1+y2=,得y=.x=ty-2=-2=,由Δ=4t2-121+t20,得t
23.所以M的轨迹的参数方程为t为参数且t23.归纳升华求曲线参数方程的五步1.建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标;2.写出适合条件的点M的集合;3.选择适当的参数,用参数及坐标表示集合,列出方程;4.将方程化为最简形式;5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.注意最后一步可以省略,但一定要注意所求的方程所表示的点是否都在曲线上,要注意那些特殊的点.[变式训练] 以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为1,-5,点C的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C的半径为
4.1求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.2试判断直线l与圆C的位置关系.解1直线l的参数方程为t为参数,即t为参数.由题知C点的直角坐标为0,4,圆C的半径为4,所以圆C的方程为x2+y-42=16,将代入,得圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.2由题意得,直线l的普通方程为x-y-5-=0,圆心C到l的距离为d==4,所以直线l与圆C相离.专题二 参数方程及其应用1求直线的参数方程,根据参数方程参数的几何意义,求直线上两点间的距离,求直线的倾斜角,判断两直线的位置关系;根据已知条件求圆的参数方程,根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题.2能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题.[例2] 已知曲线C1θ为参数,曲线C2t为参数.1若α=,求曲线C2的普通方程,并说明它表示什么曲线;2曲线C1和曲线C2的交点分别记为M,N,求|MN|的最小值.解1因为α=,所以t为参数,所以x-1=y+1,所以曲线C2的普通方程是y=x-2,它表示过点1,-1,倾斜角为的直线.2曲线C1的普通方程为x2+y2=4,将t为参数代入x2+y2=4中得1+tcosα2+-1+tcosα2=4,所以t2+2cosα-sinαt-2=0,设t1,t2为方程的两个根,则有|MN|=|t1-t2|===,所以当sin2α=1时,|MN|的最小值为
2.归纳升华1.曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参,可以通过加减消参法、平方消参法等进行,解题中要注意参数方程与普通方程的等价性.2.把曲线的参数方程化为普通方程,可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决,是解决参数方程问题的一个重要指导思想.3.求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时,使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题.4.直线的参数方程的应用非常广泛,可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时,利用直线参数方程中参数t的几何意义,可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算,使问题得到简化.直线的参数方程有多种形式,但只有标准形式才具有明确的几何意义.[变式训练] 直线l过点P0-4,0,它的参数方程为t为参数,与圆x2+y2=7相交于A,B两点.1求弦长|AB|;2过P0作圆的切线,求切线长.解将直线l的参数方程代入圆的方程,得+=7,整理得t2-4t+9=
0.1设A和B两点对应的参数分别为t1和t2,由根与系数的关系得t1+t2=4,t1·t2=
9.故|AB|=|t2-t1|==
2.2设圆过P0的切线为P0T,T在圆上,则|P0T|2=|P0A|·|P0B|=|t1t2|=9,所以切线长|P0T|=
3.专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高,常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化.一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程,然后根据曲线性质去解决问题.在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现.[例3] 已知直线l t为参数.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.1将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;2设点M的直角坐标为5,,直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.解1ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入ρ2=2ρcosθ即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=
0.2将t为参数代入x2+y2-2x=0,得t2+5t+18=
0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=
18.归纳升华1.先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,曲线的参数方程化为普通方程,然后使用熟悉的解析几何知识解决问题,再根据题目的要求进行变换来求解结果,最后得出符合题目要求的结论.2.参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点,在由参数方程求曲线交点坐标时,也可以先通过方程组求出参数值,再根据参数值得出交点坐标.3.解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时,可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决.[变式训练] xx·全国Ⅲ卷在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为α为参数.以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=
2.1写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;2设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标.解1C1的普通方程为+y2=1,由于曲线C2的方程为ρsin=2,所以ρsinθ+ρcosθ=4,因为曲线C2的直角坐标方程为x+y-4=
0.2由题意,可设点P的直角坐标为cosα,sinα.因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离dα的最小值,又dα==,当且仅当α=2kπ+k∈Z时,dα取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.专题四 数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想之一,利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点,并跨越各知识点的界线,有较强的综合性.加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节.[例4] 已知抛物线的参数方程为t为参数,其中p0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________.解析将t为参数消参得y2=2px,则抛物线的焦点为F,准线为直线x=-.将x=3代入y2=2px得y=±.如图,不妨令M的坐标为3,,所以E.因为|EF|=|MF|,所以=,化简得p2+4p-12=0,因为p0,所以p=
2.答案2归纳升华1.化参数方程为普通方程,由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程.2.根据两点距离的定义,得关于p的方程,从而求得p值,再结合抛物线的图象,确定p的范围,体现了转化与数形结合思想的应用.[变式训练] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为θ为参数,且0≤θ≤2π,点M是曲线C1上的动点.1求线段OM的中点P的轨迹的参数方程;2以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0ρ0,求点P到直线l距离的最大值.解1曲线C1上的动点M的坐标为4cosθ,4sinθ,坐标原点O0,0,设点P的坐标为x,y,则由中点坐标公式得x=0+4cosθ=2cosθ,y=0+4sinθ=2sinθ,所以点P的坐标为2cosθ,2sinθ,因此点P的轨迹的参数方程为θ为参数,且0≤θ2π.2由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x-y+1=
0.又由1中,消去参数θ,得点P轨迹的直角坐标方程为x2+y2=
4.从而点P的轨迹为圆心在原点、半径为2的圆,因为原点0,0到直线x-y+1=0的距离为==,所以点P到直线l距离的最大值为.。