2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4-5

2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4-5不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．　设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1，2，3，…1当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式．2当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有

①an≥n＋2；

②＋＋…＋≤.[解]　1由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4；由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝

5.由此猜想an＝n＋1n∈N＋．2

①用数学归纳法证明当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝akak－k＋1≥k＋2k＋2－k＋1＝2k＋2＋1≥k＋3＝k＋1＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥k＋1＋

2.综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋

2.

②由an＋1＝anan－n＋1及

①，对k≥2，有ak＝ak－1ak－1－k＋1＋1≥ak－1k－1＋2－k＋1＋1＝2ak－1＋1≥2·2ak－2＋1＋1＝22ak－2＋2＋1≥23ak－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1a1＋1－1，于是1＋ak≥2k－1a1＋1，≤·，k≥

2.∴＋＋…＋≤＋＝＝·≤＝.因此，原不等式成立.\在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“Pk成立”是问题的条件，而“命题Pk＋1成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“Pk”到“Pk＋1”，常常可用分析综合法．　求证＋＋…＋，n∈N＋.[证明]　1当n＝1时，因为＝1，所以原不等式成立．2假设n＝kk≥1，k∈N＋时，原不等式成立，即有＋＋…＋，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋.因此，欲证明当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明＋成立．即证明－.从而转化为证明，也就是证明＋，即2－＋2＝k2＋k＋1－2＝[－1]20，从而＋.于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．由

1、2可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立．2．放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法．　求证1＋＋＋…＋n∈N＋．[证明]　1当n＝1时，左边＝1，右边＝.左边右边，∴不等式成立．2假设n＝kk≥1，k∈N＋时不等式成立，即1＋＋＋…＋.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋…＋\s\do42k－1项＋2k－1·＝.∴n＝k＋1时，不等式成立．由

1、2可知，1＋＋＋…＋n∈N＋．3．递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡．　设0a1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证对一切n∈N＋，有1an.[证明]　用数学归纳法．1当n＝1时，a11，又a1＝1＋a，显然命题成立．2假设n＝kk≥1，k∈N＋时，命题成立，即1ak.当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a1－a＋a＝1，同时，ak＋1＝＋a1＋a＝，当n＝k＋1时，命题也成立．即1ak＋

1.综合

1、2可知，对一切正整数n，有1an.4．学会借用同一题中已证明过的结论在从k到k＋1的过程中，若仅仅利用已知条件，有时还是没有证题思路，这时考查同一题中已证明过的结论，看是否可借用，这种“借用”思想非常重要．　设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋n∈N＋定义的数列，求证不等式xn＋n∈N＋．[证明]　受阻过程由于对于任意的k∈N＋，xk＋1＝＋2＝.所以xnn∈N＋显然成立．下面证明xn＋n∈N＋．1当n＝1时，x1＝2＋1，不等式成立．2假设当n＝kk≥1，k∈N＋时，不等式成立，即xk＋，那么，当n＝k＋1时，xk＋1＝＋.由归纳假设，xk＋，则＋，

①.

②因为

①、

②不是同向不等式，所以由递推式无法完成由k到k＋1的证明，到此好像“山重水复疑无路”，证题思路受到阻碍．受阻原因分析要利用递推式xk＋1＝＋，只有找出关系式A，才有可能推导下去．因此，只有寻觅出xk这样一个条件，才可以接通思路．当注意到前面已证明xn以后，问题就可以解决了．思路受阻的原因就在于不会借用前面已经证明的结论．事实上，∵xk，∴.∴xk＋1＝＋＋＋＝＋≤＋.即xk＋1＋.

一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3n≥3，n∈N＋，第一步应验证　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案C2．设fn＝＋＋＋…＋n∈N＋，则fn＋1－fn＝　　A.B.C.＋D.－解析选D　由题意知fn＝＋＋…＋，fn＋1＝＋＋…＋＋＋，故fn＋1－fn＝＋－＝＋＝－.3．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋nn∈N＋成立，当n＝1时，应验证　　A.≤1＋≤B.≤1＋＋≤C.≤1＋＋D.1＋解析选A　当n＝1时，左边＝1＋＝，中间＝1＋＝，右边＝＋1＝.∴≤1＋≤.4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成　　A．假设当n＝kk∈N＋时，xk＋yk能被x＋y整除B．假设当n＝2kk∈N＋时，xk＋yk能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1k∈N＋时，xk＋yk能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1k∈N＋时，xk＋yk能被x＋y整除解析选D　第k个奇数应是n＝2k－1k∈N＋．

二、填空题5．利用数学归纳法证明“…1＋”时，n的最小取值n0为________．解析n0＝1时，1＋不适合原式要求．n0＝2时，1＋，再用数学归纳法证明．答案26．若fn＝12＋22＋32＋…＋2n2，则fk＋1与fk的递推关系式是fk＋1＝________．解析∵fk＝12＋22＋…＋2k2，∴fk＋1＝12＋22＋…＋2k2＋2k＋12＋2k＋22，∴fk＋1＝fk＋2k＋12＋2k＋

22.答案fk＋2k＋12＋2k＋227．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋cos5α＋…＋cos2n－1α＝sinα≠0，n∈N＋，在验证n＝1时，等式右边的式子是__________．解析本题在n＝1时，右边考查二倍角的正弦公式，右边＝＝＝cosα.答案cosα8．设{an}是首项为1的正项数列，且n＋1·a－na＋an＋1·an＝0n＝1，2，3，…，则它的通项an＝________．解析法一分别令n＝1，2，3求出a2＝，a3＝，通过不完全归纳法知an＝.法二对已知等式因式分解得[n＋1an＋1－nan]·an＋1＋an＝

0.由an0知＝，再由累乘法求得an＝.答案

三、解答题9．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N＋时，满足an＋2＝an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证{bn}各项均为3的倍数．证明1∵a1＝a2＝1，故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝

3.∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．2假设n＝k时，命题成立，即bk＝a4k是3的倍数，则n＝k＋1时，bk＋1＝a4k＋1＝a4k＋4＝a4k＋3＋a4k＋2＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝a4k＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝3a4k＋1＋2a4k.由归纳假设，a4k是3的倍数，3a4k＋1是3的倍数，故可知bk＋1是3的倍数，∴n＝k＋1时命题也正确．综合

1、2可知，对正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．10．用数学归纳法证明×××…×对n∈N＋时成立．证明1当n＝1时，，不等式成立．2假设n＝k时不等式成立．即×××…×.则n＝k＋1时，×××…×××＝＝＝＝＝.即n＝k＋1时不等式成立．由

1、2知不等式对任意n∈N＋都成立．11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0n≥2．1判断是否为等差数列？并证明你的结论；2求Sn和an；3求证S＋S＋…＋S≤－.解1S1＝a1＝，∴＝

2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－

1.∴－＝2，故{}是以2为首项，2为公差的等差数列．2由1得＝2＋n－1·2＝2n，Sn＝n∈N＋，当n≥2时，an＝－2SnSn－1＝－.当n＝1时，a1＝∴an＝3证明

①当n＝1时，S＝＝－，成立．

②假设n＝kk≥1，且k∈N＋时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－·－·＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．由

①，

②可知对任意n∈N＋不等式成立．时间90分钟　满分120分

一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设Sn＝＋＋＋…＋，则　　A．Sn共有n项，当n＝2时，S2＝＋B．Sn共有n＋1项，当n＝2时，S2＝＋＋C．Sn共有n2－n项，当n＝2时，S2＝＋＋D．Sn共有n2－n＋1项，当n＝2时，S2＝＋＋解析选D　Sn共有n2－n＋1项，S2＝＋＋.2．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取　　A．2　　　B．3　　　C．5　　　D．6解析选C　取n0＝1，2，3，4，5验证，可知n0＝

5.3．用数学归纳法证明当n∈N＋时1＋2＋22＋…＋22n＝22n＋1－1时，当n＝1时左边为　　A．1　　B．1＋2　　C．1＋2＋22　　D．1＋2＋22＋23解析选C　因为左边为2n＋1项和，所以n＝1时，左边＝1＋2＋

22.4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式…成立时，当n＝2时验证的不等式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1＋B.C.≥D．以上都不对解析选A　当n＝2时，左边＝1＋＝1＋，右边＝＝，∴1＋.5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝kk≥2，k为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证　　A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2k＋2时等式成立解析选B　∵k为偶数，∴假设n＝k时，命题为真，还需再证n＝k＋2时等式成立，故选B.6．已知fx是定义在正整数集上的函数，且fx满足“当fk≥k2成立时，总可推出fk＋1≥k＋12成立”，那么，下列命题总成立的是　　A．若f3≥9成立，则当k≥1时，均有fk≥k2成立B．若f4≥16成立，则当k≥4时，均有fkk2成立C．若f7≥49成立，则当k7时，均有fkk2成立D．若f4＝25成立，则当k≥4时，均有fk≥k2成立解析选D　∵fk≥k2成立时，fk＋1≥k＋12成立，当k＝4时，f4＝2516＝42成立．∴当k≥4时，有fk≥k2成立．7．用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1，2D．以上答案均不正确解析选A　n0＝1时，x＋≥1＋1成立，再用数学归纳法证明．8．记凸k边形的内角和为fk，则凸k＋1边形的内角和fk＋1与fk的关系是　　A．fk＋1＝fk＋B．fk＋1＝fk＋πC．fk＋1＝fk＋D．fk＋1＝fk＋2π解析选B　凸多边形每增加一条边，内角和增加π.9．下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．n3＋5nB．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1D．42n＋1＋3n＋2解析选D　A中，n＝1时，1＋5＝6，不能被13整除；B中，n＝1时，35＋53＝368不能被13整除；C中，n＝1时，6＋1＝7亦不能被13整除．10．用数学归纳法证恒等式＋＋＋…＋＝，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的式子为　　A.B.＋C.D.解析选D　观察等式左边可知n＝k＋1时，应再加上.

二、填空题本大题共有4小题，每小题5分，共20分11．证明1＋＋＋＋…＋n∈N＋，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加的项数是________．解析令fn＝1＋＋＋…＋，则fk＝1＋＋＋…＋，fk＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以fk＋1－fk＝＋＋…＋，分母首项为2k＝a1，分母末项an＝2k＋1－1，公差d＝1，∴n＝＋1＝2k.答案2k12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，________．解析ak＋1＝2ak＋2＝24·2k－1－2＋2＝4·2k－2＝4·2k＋1－1－2答案ak＋1＝4·2k＋1－1－213．从1＝1，1－4＝－1＋2，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－1＋2＋3＋4，…，归纳出1－4＋9－16＋…＋－1n＋1n2＝________．解析等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为－1n＋1，和的绝对值是前n个自然数的和，为.答案－1n＋1·14．数列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋

1、2S1成等差数列，则S

2、S

3、S4分别为________，猜想Sn＝________．解析∵2Sn＋1＝2S1＋Sn，且S1＝a1＝

1.∴S2＝＝，S3＝＝，S4＝＝，∴猜想Sn＝.答案，，　

三、解答题本大题共有4小题，共50分15．本小题满分12分用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋2n－12＝n4n2－1．证明1当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．2假设当n＝k时k≥1，k∈N＋，命题成立，即12＋32＋52＋…＋2k－12＝k4k2－1，那么当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋2k－12＋[2k＋1－1]2＝k4k2－1＋2k＋12＝k2k＋12k－1＋2k＋12＝2k＋12k＋3k＋1＝k＋1[4k＋12－1]．∴当n＝k＋1时，命题也成立．由12得对于任意n∈N＋，等式都成立．16．本小题满分12分求证＋＋…＋，n≥2，n∈N＋．证明1当n＝2时，左边＝＋＋＋，不等式成立．2假设当n＝kk≥2，k∈N＋时，命题成立，即＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＋＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由12可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．17．本小题满分12分利用数学归纳法证明3n＋1·7n－1n∈N＋能被9整除．证明1当n＝1时，3×1＋1×71－1＝27，能被9整除，所以命题成立．2假设当n＝kk≥1，k∈N＋时，命题成立，即3k＋1·7k－1能被9整除．那么当n＝k＋1时，[3k＋1＋1]·7k＋1－1＝3k＋4·7k＋1－1＝3k＋1·7k＋1－1＋3·7k＋1＝[3k＋1·7k－1]＋3·7k＋1＋6·3k＋1·7k＝[3k＋1·7k－1]＋7k21＋6×3k＋6＝[3k＋1·7k－1]＋9·7k2k＋3．由归纳假设知，3k＋1·7k－1能被9整除，而9·7k2k＋3也能被9整除，故[3k＋1＋1]·7k＋1－1能被9整除．这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．由12知，对一切n∈N＋，3n＋1·7n－1都能被9整除．18．本小题满分14分{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝an－1＋2an－2＋2，n＝3，4，5，….1求a3；2证明an＝an－2＋2n≥3，且n∈N＋．解1由已知a4a3＝a2＋2a1＋2＝5×2＝10×1，∴a3可能取值1，2，5，

10.若a3＝1，a4＝10，从而a5＝＝＝，显然a5不是非负整数，与题设矛盾．若a3＝10，则a4＝1，从而a5＝

60.但再计算a6＝，也与题设矛盾．∴a3＝2，a4＝

5.因a3＝5，a4＝2⇒a5∉N，舍去2用数学归纳法证明

①当n＝3时，a3＝2，a1＋2＝0＋2，∴a3＝a1＋2，即n＝3时等式成立；

②假设n＝kk≥3时，等式成立，即ak＝ak－2＋2，由题设ak＋1ak＝ak－1＋2ak－2＋2，因为ak＝ak－2＋2≠

0.所以ak＋1＝ak－1＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式ak＋1＝ak－1＋2成立．则根据

①②知，对于n≥3n∈N＋，有an＝an－2＋

2.模块综合检测时间90分钟　满分120分

一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分1．已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是　　A．a2b2　　　　　　　　B．ab2a2bC.D.解析选C　A项中a2－b2＝a＋ba－b，由ab知a－b

0.但a＋b的符号不确定，故A项错误．B项中，ab2－a2b＝abb－a，由ab知b－a0，但ab的符号不确定，故B项错误．C项中，－＝＝，由ab知a－b0，又已知a，b为非零实数，∴－0，即.D项中，－＝＝，由于的符号不确定，故D项错误．2．设a，b∈R，下面的不等式成立的是　　A．a2＋3ab＞b2B．ab＋a＞b＋abC.＜D．a2＋b2≥2a－b－1解析选D　法一取a＝0，b＝1验证排除A、B，再取a＝4，b＝3时，可排除C，故选D.法二a2＋b2－2a－b－1＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＝a－12＋b－12≥

0.3．已知函数fx、gx，设不等式|fx|＋|gx|aa0的解集是M，不等式|fx＋gx|aa0的解集为N，则集合M与N的关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．NMB．M＝NC．M⊆ND．MN解析选C　由绝对值不等式的性质知|fx＋gx|≤|fx|＋|gx|，∴集合N与集合M成M⊆N关系．4．若x，y，z是正数，且满足xyzx＋y＋z＝1，则x＋y·y＋z的最小值是　　A．1B．2C．3D．4解析选B　x＋yy＋z＝xy＋xz＋y2＋yz＝yx＋y＋z＋xz≥2＝

2.5．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为　　A．－∞，－2]∪[2，＋∞B．－∞，－1]∪[2，＋∞C．－∞，－2]∪[3，＋∞D．－∞，－3]∪[2，＋∞解析选D　由题意不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2，1以外的点到－2，1的距离要计算两次，而在－2，1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为－∞，－3]∪[2，＋∞．6．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是　　A.　　　B.　　　C.　　　D.解析选A　∵logxy＝－2，∴y＝，∴x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝.故应选A.7．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为　　A．－∞，－1]B．[－1，＋∞C．－∞，－1]∪[4，＋∞D．－∞，－4]∪[1，＋∞解析选C　原不等式可化为

①或

②或

③解不等式组

①得x≤－1，不等式组

②无解，解不等式组

③得x≥

4.因此，原不等式的解集为－∞，－1]∪[4，＋∞．8．当x1时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是　　A．－∞，2　B．[2，＋∞　C．[3，＋∞　D．－∞，3]解析选D　a≤x＋，由x＋＝x－1＋＋1≥3，即x＋的最小值为

3.9．若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有　　A．最大值3＋2B．最小值3＋2C．最大值6D．最小值6解析选B　由题知，x2＋2y2＝x2＋2y2·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝时，等号成立，故选B.10．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|k恒成立，则k的取值范围是　　A．k3B．k－3C．k≤3D．k≤－3解析选B　法一1或2或3由1得k－

3.由2得－1x2时，k2x－

1.而2x－1∈－3，3，∴k≤－

3.由3得k

3.依题意，要对任意x都使该不等式成立，∴k－3时，123都可以满足．故选B.法二根据绝对值的几何意义|x＋1|可看作点x到点－1的距离，|x－2|可看作点x到点2的距离，因此|x＋1|－|x－2|即为数轴上任一点x到点－1的距离与到点2的距离的差，记作*，要使它大于k恒成立就要讨论点x的位置1当点x在点－1左侧时，如图中的点R，则*恒为－

3.2当点x在点2右侧时，如图中的点T，则*恒为

3.3当点－1≤x≤2时，如图中的点S，则－3≤*≤

3.由123可知，无论x为任何实数，*的范围是－3≤*≤

3.因此若使|x＋1|－|x－2|k，只需k－

3.注意当k＝－3时，若|x＋1|－|x－2|＝－3，则无法取“”法三令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝在直角坐标系下作出图象如图所示，由图得到－3≤y＝|x＋1|－|x－2|≤

3.以下同法二．

二、填空题本大题共有4小题，每小题5分，共20分11．函数y＝5＋的最大值为________．解析y＝5＋＝5＋·≤＝＝

6.当且仅当·＝5即x＝时取等号答案612．天津高考集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．解析不等式|x－2|≤5等价于－5≤x－2≤5，解得－3≤x≤7，所以集合A为{x∈R|－3≤x≤7}，集合A中的最小整数为－

3.答案－313．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________．解析用分析法比较，ab⇔＋＋⇔8＋28＋2，同理可比较得bc.答案abc14．下列四个命题中

①a＋b≥2；

②sin2x＋≥4；

③设x，y都是正数，若＋＝1，则x＋y的最小值是12；

④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε.其中所有真命题的序号是________．解析

①不正确．a，b符号不定；

②不正确，sin2x∈0，1]，利用函数y＝x＋的单调性可求得sin2x＋≥5；

③不正确．x＋y＝10＋＋≥10＋6＝16；

④正确．|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|＜ε＋ε＝2ε.答案

④

三、解答题本大题共有4小题，共50分15．本小题满分12分已知a，b是不相等的正实数．求证a2b＋a＋b2ab2＋a2＋b9a2b

2.证明因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3＝3ab0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以a2b＋a＋b2ab2＋a2＋b≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因为a≠b，所以a2b＋a＋b2ab2＋a2＋b9a2b

2.16．本小题满分12分已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．解由柯西不等式得，2b2＋3c2＋6d2≥b＋c＋d2，即2b2＋3c2＋6d2≥b＋c＋d2，由条件可得，5－a2≥3－a2，解得1≤a≤2，当且仅当＝＝时等号成立，即b＝，c＝，d＝时，amax＝2；b＝1，c＝，d＝时，amin＝

1.17．本小题满分12分辽宁高考已知fx＝|ax＋1|a∈R，不等式fx≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．1求a的值；2若≤k恒成立，求k的取值范围．解1由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤

2.又fx≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a0时，－≤x≤，得a＝

2.2记hx＝fx－2f，则hx＝所以|hx|≤1，因此k≥

1.18．本小题满分14分已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝

100.1求数列{bn}的通项bn；2设数列{an}的通项an＝lg，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与lgbn＋1的大小，并证明你的结论．解1设数列{bn}的公差为d，由题意得解得∴bn＝2n－

1.2由bn＝2n－1，知Sn＝lg1＋1＋lg＋…＋lg＝lg，lgbn＋1＝lg，因此要比较Sn与lgbn＋1的大小，可先比较1＋1·…·与的大小．取n＝1，有1＋1，取n＝2，有1＋1，…由此推测，1＋1·…·n∈N＋．

①若

①式成立，则由对数函数性质可以断定Snlgbn＋

1.下面用数学归纳法证明

①式．ⅰ当n＝1时，已验证

①式成立．ⅱ假设当n＝kk≥1，k∈N＋时，

①式成立，即1＋1·…·.那么，当n＝k＋1时，1＋1·…·＝2k＋2．∵－2＝＝0，∴2k＋2＝.因而1＋11＋·…·.这就是说

①式当n＝k＋1时也成立．由ⅰ，ⅱ知

①式对任何正整数n都成立．由此证得Snlgbn＋

1.。