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2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(9月份)(解析版)I
一、选择题本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1.已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<﹣22.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位3.在如图所示的单位正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知在AC上一点P(
2.4,2)平移后的对应点为P1,点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,则P2点的坐标为( )A.(
1.4,﹣1)B.(
1.5,2)C.(
1.6,1)D.(
2.4,1)4.若ab<0,则正比例函数y=ax和反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是( )A.B.C.D.5.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根6.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则sin∠AOB的值是( )A.B.C.D.8.在下列四个命题中
①所有等腰直角三角形都相似;
②所有等边三角形都相似;
③所有正方形都相似;
④所有菱形都相似.其中真命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个9.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O是内切圆,E,F,D分别为切点,则tan∠OBD=( )A.B.C.D.10.定义如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c11.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是( )A.B.C.D.712.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论
①当x>3时,y<0;
②3a+b>0;
③﹣1≤a≤﹣;
④3≤n≤4中,正确的是( )A.
①②B.
③④C.
①④D.
①③
二、填空题本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.13.半径为1的圆内接正三角形的边心距为 .14.若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则﹣a3+2a+xx的值为 .15.张力同学在校运动会上投掷标枪,标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h=﹣x2+x+2,则大力同学投掷标枪的成绩是 m.16.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为 .17.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线与此正方形的边有交点,则a的取值范围是 .18.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体,它的主视图的面积为 .
三、解答题本大题共7个小题,满分60分.解答时请写出必要的演推过程.19.计算﹣2sin45°+(﹣2)﹣3+()0.20.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发.
(1)几秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)△PBQ的面积可能等于10cm2吗?为什么?21.在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;
(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.22.如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.23.如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.24.海丰塔是无棣灿烂文化的象征(如图
①),喜爱数学实践活动的小伟查资料得知海丰塔,史称唐塔,原名大觉寺塔,始建于唐贞观十三年(公元639年),碑记为“尉迟敬德监建”,距今已1300多年,被誉为冀鲁三胜之一.小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度.如图
②,他利用测角仪站在B处测得海丰塔最高点P的仰角为45°,又前进了18米到达A处,在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算海丰塔的高度.(测角仪高度忽略不计,≈
1.7,结果保留整数).25.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,点M为圆心,A点坐标为(﹣2,0),B点坐标为(4,0),D点的坐标为(0,﹣4).
(1)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;
(2)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗?能,请写出过程,不能,请说明理由. xx学年山东省滨州市无棣县小泊头中学九年级(上)月考数学试卷(9月份)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1.已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<﹣2【考点】根的判别式.【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组,解之即可得出结论.【解答】解∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,∴,解得a<2且a≠1.故选C. 2.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】原抛物线顶点坐标为(﹣1,2),平移后抛物线顶点坐标为(0,0),由此确定平移规律.【解答】解y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(﹣1,2),抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),则平移的方法可以是将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位,再向下平移2个单位.故选D. 3.在如图所示的单位正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知在AC上一点P(
2.4,2)平移后的对应点为P1,点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,则P2点的坐标为( )A.(
1.4,﹣1)B.(
1.5,2)C.(
1.6,1)D.(
2.4,1)【考点】坐标与图形变化﹣旋转;坐标与图形变化﹣平移.【分析】根据平移的性质得出,△ABC的平移方向以及平移距离,即可得出P1坐标,进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标.【解答】解∵A点坐标为(2,4),A1(﹣2,1),∴点P(
2.4,2)平移后的对应点P1为(﹣
1.6,﹣1),∵点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,∴P2点的坐标为(
1.6,1).故选C. 4.若ab<0,则正比例函数y=ax和反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是( )A.B.C.D.【考点】反比例函数的图象;正比例函数的图象.【分析】根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点,可以从a>0,b<0和a<0,b>0两方面分类讨论得出答案.【解答】解∵ab<0,∴a、b为异号,分两种情况
(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax数的图象过原点、第
一、三象限,反比例函数图象在第
二、四象限,无此选项;
(2)当a<0,b>0时,正比例函数的图象过原点、第
二、四象限,反比例函数图象在第
一、三象限,选项C符合.故选C. 5.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】由图可知y=ax2+bx+c﹣3可以看作是函数y=ax2+bx+c的图象向下平移3个单位而得到,再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答.【解答】解∵函数y=ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标为3,∴函数y=ax2+bx+c﹣3的图象可以看作是y=ax2+bx+c的图象向下平移3个单位得到,此时顶点在x轴上,∴函数y=ax2+bx+c﹣3的图象与x轴只有1个交点,∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等实数根.故选C. 6.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】相似三角形的判定;直角梯形.【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°,故要使△PAD与△PBC相似,分两种情况讨论
①△APD∽△BPC,
②△APD∽△BCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长,即可得到P点的个数.【解答】解∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°.AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x.若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况
①若△APD∽△BPC,则AP BP=AD BC,即x(8﹣x)=34,解得x=;
②若△APD∽△BCP,则AP BC=AD BP,即x4=3(8﹣x),解得x=2或x=6.∴满足条件的点P的个数是3个,故选C. 7.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则sin∠AOB的值是( )A.B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.【分析】在直角△OAC中,利用勾股定理求得OA的长,然后根据正弦的定义即可求解.【解答】解在直角△OAC中,OC=2,AC=3,则OA===,则sin∠AOB===.故选D. 8.在下列四个命题中
①所有等腰直角三角形都相似;
②所有等边三角形都相似;
③所有正方形都相似;
④所有菱形都相似.其中真命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】相似多边形的性质;命题与定理.【分析】相似三角形的判定方法
①两个角对应相等;
②两组对应边的比相等,且夹角相等;
③三组对应边的比相等.相似多边形的判定对应角相等、对应边的比相等的两个多边形是相似多边形.【解答】解
①中,所有的等腰直角三角形的三角相等,故正确;
②中,所有的等边三角形的三角相等,故正确;
③中,所有正方形都四角相等,四条边成比例,故正确;
④中,所有菱形的四个角不一定相等,因此不都相似,故错误.故选B. 9.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O是内切圆,E,F,D分别为切点,则tan∠OBD=( )A.B.C.D.【考点】三角形的内切圆与内心;切线长定理.【分析】首先根据切线的性质和切线长定理证得四边形OECD是正方形,那么AC+BC﹣AB即为2R(⊙O的半径R)的值,由此可得到OD、CD的值,进而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值.【解答】解∵BC、AC、AB都是⊙O的切线,∴CD=CE、AE=AF、BF=BD,且OD⊥BC、OE⊥AC;易证得四边形OECD是矩形,由OE=OD可证得四边形OECD是正方形;设OD=OE=CD=R,则AC+BC﹣AB=AE+R+BD+R﹣AF﹣BF=2R,即R=(AC+BC﹣AB)=1,∴BD=BC﹣CD=3﹣1=2;在Rt△OBD中,tan∠OBD==.故选C. 10.定义如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c【考点】根的判别式.【分析】因为方程有两个相等的实数根,所以根的判别式△=b2﹣4ac=0,又a+b+c=0,即b=﹣a﹣c,代入b2﹣4ac=0得(﹣a﹣c)2﹣4ac=0,化简即可得到a与c的关系.【解答】解∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=0,又a+b+c=0,即b=﹣a﹣c,代入b2﹣4ac=0得(﹣a﹣c)2﹣4ac=0,即(a+c)2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=(a﹣c)2=0,∴a=c.故选A 11.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是( )A.B.C.D.7【考点】勾股定理;全等三角形的性质;全等三角形的判定.【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形,根据三角形全等和勾股定理求出BC的长,再利用勾股定理即可求出.【解答】解作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE,,∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC==,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=×=2;故选A. 12.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论
①当x>3时,y<0;
②3a+b>0;
③﹣1≤a≤﹣;
④3≤n≤4中,正确的是( )A.
①②B.
③④C.
①④D.
①③【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】
①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项
①作出判断;
②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;
③根据两根之积=﹣3,得到a=﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.【解答】解
①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),∴根据图示知,当x>3时,y<0.故
①正确;
②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.故
②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),∴﹣1×3=﹣3,∴=﹣3,则a=﹣.∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3,∴﹣1≤﹣≤﹣,即﹣1≤a≤﹣.故
③正确;
④根据题意知,a=﹣,﹣=1,∴b=﹣2a=,∴n=a+b+c=c.∵2≤c≤3,∴≤c≤4,即≤n≤4.故
④错误.综上所述,正确的说法有
①③.故选D.
二、填空题本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.13.半径为1的圆内接正三角形的边心距为 .【考点】正多边形和圆.【分析】作出几何图形,再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中,已知外接圆半径和特殊角,可求得边心距.【解答】解如图,△ABC是⊙O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°;∵OD⊥BC,OB=1,∴OD=.故答案为. 14.若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则﹣a3+2a+xx的值为 xx .【考点】一元二次方程的解.【分析】根据方程根的定义,得出a2﹣a﹣1=0,把原式降次即可得出答案.【解答】解∵a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,∴a2﹣a﹣1=0,∴a3﹣a2﹣a=0,∴﹣a3=﹣a2﹣a,∴﹣a3+2a+xx=﹣a2﹣a+2a+xx=﹣a2+a+xx=﹣a﹣1+a+xx=xx,故答案为xx. 15.张力同学在校运动会上投掷标枪,标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h=﹣x2+x+2,则大力同学投掷标枪的成绩是 48 m.【考点】二次函数的应用.【分析】根据题意可知,大力同学投掷标枪的最远距离就是当h=0时,x的值.【解答】解∵h=﹣x2+x+2,∴当h=0时,0=﹣x2+x+2,解得,x1=﹣2,x2=48,即大力同学投掷标枪的成绩是48m,故答案为48. 16.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为 61° .【考点】圆周角定理.【分析】首先连接OD,由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,可得点A,B,C,D共圆,又由点D对应的刻度是58°,利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数,继而求得答案.【解答】解连接OD,∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,∴点A,B,C,D共圆,∵点D对应的刻度是58°,∴∠BOD=58°,∴∠BCD=∠BOD=29°,∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°.故答案为61°. 17.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线与此正方形的边有交点,则a的取值范围是 ≤a .【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】根据题意得出C点的坐标(a﹣1,a﹣1),然后分别把A、C的坐标代入求得a的值,即可求得a的取值范围.【解答】解∵A点的坐标为(a,a).根据题意C(a﹣1,a﹣1),当C在曲线时,则a﹣1=,解得a=+1,当A在曲线时,则a=,解得a=,∴a的取值范围是≤a.故答案为≤a. 18.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体,它的主视图的面积为 5 .【考点】简单组合体的三视图.【分析】根据立体图形画出它的主视图,再求出面积.【解答】解主视图如图所示,∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体,∴主视图的面积为5×12=5,故答案为5.
三、解答题本大题共7个小题,满分60分.解答时请写出必要的演推过程.19.计算﹣2sin45°+(﹣2)﹣3+()0.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】原式第一项利用二次根式性质化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.【解答】解原式=﹣1﹣2×﹣+1=﹣. 20.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发.
(1)几秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)△PBQ的面积可能等于10cm2吗?为什么?【考点】一元二次方程的应用.【分析】
(1)根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可.
(2)根据
(1)中的解题思路列出方程,结合根的判别式进行解答.【解答】解
(1)设x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2,由题意可得2x(6﹣x)÷2=8,解得x1=2,x2=4.答2或4秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.
(2)设x秒钟后,△PBQ的面积等于10cm2,由题意可得2x(6﹣x)÷2=10,整理,得x2﹣6x+10=0,因为△=36﹣40=﹣4<0,所以该方程无解,答△PBQ的面积不可能等于10cm2. 21.在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;
(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.【考点】列表法与树状图法;概率公式.【分析】
(1)由小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求出恰好选中大刚的概率即可;
(2)画树状图得出所有等可能的情况数,找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数,即可求出所求的概率.【解答】解
(1)∵确定小亮打第一场,∴再从小莹,小芳和大刚中随机选取一人打第一场,恰好选中大刚的概率为;
(2)列表如下所有等可能的情况有6种(除去三个人相同的情况),其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个,则小莹与小芳打第一场的概率为= 22.如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,则∠B+∠BAD=90°,再根据切线的性质,由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°,则∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,则∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD;
(2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=2,根据勾股定理可计算出OC=3,则CD=OC﹣OD=2,然后利用△CDE∽△CAD,根据相似比可计算出CE,再由AE=AC﹣CE可得AE的值.【解答】
(1)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;
(2)解∵AB=2,∴OA=1,在Rt△AOC中,AC=2,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,∵△CDE∽△CAD,∴=,即=,∴CE=.∴AE=AC﹣CE=2﹣=. 23.如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;待定系数法求一次函数解析式;轴对称﹣最短路线问题.【分析】
(1)由点A在一次函数图象上,结合一次函数解析式可求出点A的坐标,再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点B坐标;
(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,连接PB.由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标,设直线AD的解析式为y=mx+n,结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式,令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标,再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论.【解答】解
(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,得a=﹣1+4,解得a=3,∴点A的坐标为(1,3).把点A(1,3)代入反比例函数y=,得3=k,∴反比例函数的表达式y=,联立两个函数关系式成方程组得,解得,或,∴点B的坐标为(3,1).
(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,连接PB,如图所示.∵点B、D关于x轴对称,点B的坐标为(3,1),∴点D的坐标为(3,﹣1).设直线AD的解析式为y=mx+n,把A,D两点代入得,解得,∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5.令y=﹣2x+5中y=0,则﹣2x+5=0,解得x=,∴点P的坐标为(,0).S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=BD•(xB﹣xA)﹣BD•(xB﹣xP)=×[1﹣(﹣1)]×(3﹣1)﹣×[1﹣(﹣1)]×(3﹣)=. 24.海丰塔是无棣灿烂文化的象征(如图
①),喜爱数学实践活动的小伟查资料得知海丰塔,史称唐塔,原名大觉寺塔,始建于唐贞观十三年(公元639年),碑记为“尉迟敬德监建”,距今已1300多年,被誉为冀鲁三胜之一.小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度.如图
②,他利用测角仪站在B处测得海丰塔最高点P的仰角为45°,又前进了18米到达A处,在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算海丰塔的高度.(测角仪高度忽略不计,≈
1.7,结果保留整数).【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【分析】设海丰塔的高OP=x,在Rt△POB中表示出OB,在Rt△POA中表示出OA,再由AB=18米,可得出方程,解出即可得出答案.【解答】解设海丰塔的高OP=x,在Rt△POB中,∠OBP=45°,则OB=OP=x,在Rt△POA中,∠OAP=60°,则OA==x,由题意得,AB=OB﹣OA=18m,即x﹣x=18,解得x=27+9,故海丰塔的高度OP=27+9≈42米.答海丰塔的高度约为42米. 25.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,点M为圆心,A点坐标为(﹣2,0),B点坐标为(4,0),D点的坐标为(0,﹣4).
(1)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;
(2)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗?能,请写出过程,不能,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)易得点A、B的坐标,用交点式设出二次函数解析式,把D坐标代入即可.自变量的取值范围是点A、B之间的数.
(2)先设出切线与x轴交于点E.利用直角三角形相应的三角函数求得EM的长,进而求得点E坐标,把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式.
(3)设出所求函数解析式,让它与二次函数组成方程组,消除y,让跟的判别式为0,即可求得一次函数的比例系数k.【解答】解
(1)如图,设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM,∴CM⊥CE,又∵A点坐标为(﹣2,0),B点坐标为(4,0),AB为半圆的直径,点M为圆心,∴M点的坐标为(1,0),∴AO=2,BO=4,OM=1.又因为CO⊥x轴,所以CO2=AO•OB,解得CO=2,又∵CM⊥CE,CO⊥x轴,∴CO2=EO•OM,解之得EO=8,∴E点的坐标是(﹣8,0),∴切线CE的解析式为y=x+2;
(2)根据题意可得A(﹣2,0),B(4,0);则设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣4)(a≠0),又∵点D(0,﹣4)在抛物线上,∴a=;∴y=x2﹣x﹣4自变量取值范围﹣2≤x≤4;
(3)设过点D(0,﹣4),“蛋圆”切线的解析式为y=kx﹣4(k≠0),由题意可知方程组只有一组解.即kx﹣4=x2﹣x﹣4有两个相等实根,∴k=﹣1,∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣x﹣4; xx年3月21日。