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2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(9月份)(解析版)
一、选择题(每小题3分,共36分)1.下列四个图案中,属于中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.若代数式有意义,则x的取值范围是( )A.x<B.x≤C.x>D.x≥3.下列计算正确的是( )A.x+x2=x3B.2x+3x=5xC.(x2)3=x5D.x6÷x3=x24.国家体育场呈“鸟巢”结构,是xx年第29届奥林匹克运动会的主体育场,其建筑面积为258000m2.将258000用科学记数法表示为( )A.
0.258×106B.258×103C.
2.58×106D.
2.58×1055.近年来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点,为进一步普及环保和健康知识,我市某校举行了“建设宜居成都,关注环境保护”的知识竞赛,某班学生的成绩统计如下成绩(分)60708090100人数4812115则该班学生成绩的众数和中位数分别是( )A.70分,80分B.80分,80分C.90分,80分D.80分,90分6.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数,则k的取值范围是( )A.k>或k≠1B.k>且k≠1C.k<且k≠1D.k<或k≠17.在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是( )A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)8.把方程x2﹣8x﹣4=0化成(x﹣h)2=k的形式,结果为( )A.(x﹣8)2=16B.(x﹣8)2=20C.(x﹣4)2=16D.(x﹣4)2=209.若+|y﹣2|=0,则=( )A.﹣3B.3C.±3D.10.方程x2+bx﹣c=0(c≠0)有两个相等的实数根,则代数式的值是( )A.﹣2B.2C.﹣1D.111.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1,堤高BC=5m,则坡面AB的长是( )A.10mB.mC.15mD.m12.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为( )A.B.C.D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3,共18分)13.已知一个正数的平方根是3x﹣2和x+6,则这个数是 .14.边长为3,4,5的三角形的内切圆的半径为 ,外接圆的半径为 .15.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根是1,则a+b+c= .16.关于x的方程=1无解,则m= .17.如图,已知⊙O的直径AB=6,E、F为AB的三等分点,M、N为上两点,且∠MEB=∠NFB=60°,则EM+FN= .18.计算的结果为 .
三、计算题(本大题共4小题,共32分)19..20.解方程﹣=.21.先化简,再选一个你喜欢的数代入求值.22.为更好地宣传“开车不喝酒,喝酒不开车”的驾车理念,某市一家报社设计了如图调查问卷(单选).在随机调查了该市全部5000名司机中的部分司机后,统计整理并制作了如下统计图.根据以上信息解答下列问题
(1)
①补全条形统计图;
②写出该扇形统计图中m= ;
③从该统计图看这组数据的众数是 选项、中位数在 选项;
(2)该市支持选项B的司机大约有多少人?
(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择50名,给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志,则支持该选项呃司机小李被选中的概率是多少?
四、简答题(本大题共3小题,共30分)23.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0(k为常数).
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.24.气象台测得台风中心在A城正西方向600KM的B处,以每小时200KM的速度向北偏东60度BF方向移动,距离台风中心500KM的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响的时间.25.如图,已知反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(1,m),过点A作AB⊥y轴于点B,且△AOB的面积为1.
(1)求m,k的值;
(2)若一次函数y=nx+2(n≠0)的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点,求实数n的取值范围.
五、(大题共3小题,共34分)26.如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.27.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?28.图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连结AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. xx学年四川省乐山市峨眉山市博睿特外国语学校九年级(上)月考数学试卷(9月份)参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共36分)1.下列四个图案中,属于中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解.【解答】解A、不是中心对称图形,故本选项错误;B、不是中心对称图形,故本选项错误;C、不是中心对称图形,故本选项错误;D、是中心对称图形,故本选项正确.故选D. 2.若代数式有意义,则x的取值范围是( )A.x<B.x≤C.x>D.x≥【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.【解答】解由题意得,3x﹣1≥0,解得x≥.故选D. 3.下列计算正确的是( )A.x+x2=x3B.2x+3x=5xC.(x2)3=x5D.x6÷x3=x2【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.【分析】根据同底数幂的乘法,可判断A,根据合并同类项,可判断B,根据幂的乘方,可判断C,根据同底数幂的除法,可判断D.【解答】解A、不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故A错误;B、系数相加字母部分不变,故B正确;C、底数不变指数相乘,故C错误;D、底数不变指数相减,故D错误;故选B. 4.国家体育场呈“鸟巢”结构,是xx年第29届奥林匹克运动会的主体育场,其建筑面积为258000m2.将258000用科学记数法表示为( )A.
0.258×106B.258×103C.
2.58×106D.
2.58×105【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解258000=
2.58×105.故选D. 5.近年来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点,为进一步普及环保和健康知识,我市某校举行了“建设宜居成都,关注环境保护”的知识竞赛,某班学生的成绩统计如下成绩(分)60708090100人数4812115则该班学生成绩的众数和中位数分别是( )A.70分,80分B.80分,80分C.90分,80分D.80分,90分【考点】众数;统计表;中位数.【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.【解答】解把这组数据从小到大排列,最中间的两个数都是80分,则这组数据的中位数是80分;80分出现了12次,出现的次数最多,则众数是80分.故选B. 6.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数,则k的取值范围是( )A.k>或k≠1B.k>且k≠1C.k<且k≠1D.k<或k≠1【考点】分式方程的解.【分析】首先根据解分式方程的步骤,求出关于x的分式方程﹣=1的解是多少;然后根据分式方程的解为负数,求出k的取值范围即可.【解答】解由﹣=1,可得(x+k)(x﹣1)﹣k(x+1)=x2﹣1,解得x=1﹣2k,∵1﹣2k<0,且1﹣2k≠1,1﹣2k≠﹣1,∴k>且k≠1.故选B. 7.在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是( )A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)【考点】位似变换;坐标与图形性质.【分析】根据在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行计算即可.【解答】解∵点E(﹣4,2),以O为位似中心,相似比为,∴点E的对应点E′的坐标为(﹣4×,2×)或(﹣4×(﹣),2×(﹣)),即(﹣2,1)或(2,﹣1),故选D. 8.把方程x2﹣8x﹣4=0化成(x﹣h)2=k的形式,结果为( )A.(x﹣8)2=16B.(x﹣8)2=20C.(x﹣4)2=16D.(x﹣4)2=20【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】根据配方法的步骤把常数项移到等号的右边,再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,配成完全平方的形式即可.【解答】解∵x2﹣8x﹣4=0,∴x2﹣8x=4,∴x2﹣8x+16=4+16,∴(x﹣4)2=20;故选D. 9.若+|y﹣2|=0,则=( )A.﹣3B.3C.±3D.【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质绝对值.【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值,然后代入代数式进行计算即可得解.【解答】解∵+|y﹣2|=0,∴x+3=0,y﹣2=0,∴x=﹣3,y=2,∴=3,故选B. 10.方程x2+bx﹣c=0(c≠0)有两个相等的实数根,则代数式的值是( )A.﹣2B.2C.﹣1D.1【考点】根的判别式.【分析】根据方程x2+bx﹣c=0有两个相等的实数根,所以根的判别式△=b2﹣4ac=0,即可得到b和c的关系,再代入要求的式子计算即可.【解答】解∵方程x2+bx﹣c=0(c≠0)有两个相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=0,即b2+4c=0,∴b2=﹣4c,∴=﹣2,故选A. 11.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1,堤高BC=5m,则坡面AB的长是( )A.10mB.mC.15mD.m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1,可得到∠BAC=30°,所以求得AB=2BC,得出答案.【解答】解河堤横断面迎水坡AB的坡比是1,即tan∠BAC===,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×5=10m,故选A. 12.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为( )A.B.C.D.【考点】轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理.【分析】由于A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是PA+PC的最小值.【解答】解连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.∵AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,∴BE=AB=4,CF=CD=3,∴OE===3,OF===4,∴CH=OE+OF=3+4=7,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC===7,即PA+PC的最小值为7.故选A.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3,共18分)13.已知一个正数的平方根是3x﹣2和x+6,则这个数是 25 .【考点】平方根.【分析】根据已知得出方程3x﹣2+x+6=0,求出即可.【解答】解∵一个正数的平方根是3x﹣2和x+6,∴3x﹣2+x+6=0,解得x=﹣1,即这个正数是[3×(﹣1)﹣2]2=25,故答案为25. 14.边长为3,4,5的三角形的内切圆的半径为 1 ,外接圆的半径为 .【考点】三角形的内切圆与内心;三角形的外接圆与外心.【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形,再根据切线长定理和直角三角形的性质内切圆的半径以及外接圆的半径.【解答】解∵32+42=52,∴三角形为直角三角形,设内切圆的半径为r,则3﹣r+4﹣r=5,解得r=1,外接圆的半径=×5=,故答案为1,. 15.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根是1,则a+b+c= 0 .【考点】一元二次方程的解.【分析】由一元二次方程解得的意义把方程的根代入方程,得到a+b+c=0.【解答】解把x=1代入一元二次方程得a+b+c=0,故答案是0. 16.关于x的方程=1无解,则m= 1 .【考点】分式方程的解.【分析】先按照一般步骤解方程,用含m的代数式表示x,然后根据原方程无解,即最简公分母为0,求出m的值.【解答】解化为整式方程得1﹣m=x﹣2,整理得x=3﹣m当最简公分母x﹣2=0得到增根为x=2,当分式方程无解时,把增根代入,得3﹣m=2,解得m=1.故答案为1. 17.如图,已知⊙O的直径AB=6,E、F为AB的三等分点,M、N为上两点,且∠MEB=∠NFB=60°,则EM+FN= .【考点】垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.【分析】延长ME交⊙O于G,根据圆的中心对称性可得FN=EG,过点O作OH⊥MG于H,连接MO,根据圆的直径求出OE,OM,再解直角三角形求出OH,然后利用勾股定理列式求出MH,再根据垂径定理可得MG=2MH,从而得解.【解答】解如图,延长ME交⊙O于G,∵E、F为AB的三等分点,∠MEB=∠NFB=60°,∴FN=EG,过点O作OH⊥MG于H,连接MO,∵⊙O的直径AB=6,∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1,OM=×6=3,∵∠MEB=60°,∴OH=OE•sin60°=1×=,在Rt△MOH中,MH===,根据垂径定理,MG=2MH=2×=,即EM+FN=.故答案为. 18.计算的结果为 .【考点】有理数的加法.【分析】根据有理数的加法法则可得1+2+3+…+n=.然后可推==2(﹣);∴1=2(1﹣);=2(﹣);=2(﹣);=2(﹣).把得到的结果等量代入原题可消去中间所有数剩下首尾两个数,找到规律.【解答】解1+++…+=2(1﹣+﹣+…+﹣)=2(1﹣)=.故答案为.
三、计算题(本大题共4小题,共32分)19..【考点】二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】根据二次根式的混合运算的法则和零指数幂的性质计算即可.【解答】解=4﹣1﹣+1+2×=4. 20.解方程﹣=.【考点】解分式方程.【分析】观察可得最简公分母是(x2﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.【解答】解方程的两边同乘(x2﹣1),得x(x+1)﹣2(x﹣1)=4,解得x=﹣1或2.检验当x=﹣1时,(x2﹣1)=0,∴x=﹣1是原方程的增根.当x=2时,(x2﹣1)=3≠0,∴原方程的解为x=2. 21.先化简,再选一个你喜欢的数代入求值.【考点】分式的化简求值.【分析】先算括号里面的,再算除法,最后选取合适的x的值代入进行计算即可.【解答】解原式=÷=÷=•=,当x=2时,原式==1. 22.为更好地宣传“开车不喝酒,喝酒不开车”的驾车理念,某市一家报社设计了如图调查问卷(单选).在随机调查了该市全部5000名司机中的部分司机后,统计整理并制作了如下统计图.根据以上信息解答下列问题
(1)
①补全条形统计图;
②写出该扇形统计图中m= 20 ;
③从该统计图看这组数据的众数是 C 选项、中位数在 C 选项;
(2)该市支持选项B的司机大约有多少人?
(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择50名,给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志,则支持该选项呃司机小李被选中的概率是多少?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数;众数;概率公式.【分析】
(1)
①根据B类的人数和所占的百分比求出总人数,再用总人数减去A、B、D、E的人数,求出C类的人数,从而补全条形统计图;
②根据A类的人数和总数,求出A所占的百分比,从而得出m的值;
③根据众数和中位数的定义可直接得出答案;
(2)用总人数乘以该市支持选项B的司机所占的百分比即可得出答案;
(3)根据
(2)算出的支持B的人数,以及随机选择50名,给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志,则可算出支持该选项的司机小李被选中的概率是多少.【解答】解
(1)
①根据题意得69÷23%=300(名);C类的人数是300﹣60﹣69﹣36﹣45=90(名),补图如下
②该扇形统计图中A所占的百分比是×100%=20%,则m=20;故答案为20.
③C选项出现的次数最多,出现了90次,则从该统计图看这组数据的众数是C选项;因为共抽查了300名司机,处在最中间的数是第150和151个数的平均数,则中位数在C选项;故答案为C,C.
(2)根据题意得5000×23%=1150(人).答该市支持选项B的司机大约有1150人.
(3)∵该市支持选项B的司机大约有1150人,∴小李被选中的概率是=.
四、简答题(本大题共3小题,共30分)23.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0(k为常数).
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.【考点】根与系数的关系;解二元一次方程组;解一元二次方程-直接开平方法;根的判别式.【分析】
(1)要证明方程有两个不相等的实数根,只要证明判别式△=b2﹣4ac的值大于0即可;
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6,结合x1+2x2=14即可求得方程的两个实根,进而可求k的值.【解答】
(1)证明∵b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4×1×(﹣k2)=36+4k2>0因此方程有两个不相等的实数根.
(2)解∵x1+x2=﹣=﹣=6,又∵x1+2x2=14,解方程组解得将x1=﹣2代入原方程得(﹣2)2﹣6×(﹣2)﹣k2=0,解得k=±4. 24.气象台测得台风中心在A城正西方向600KM的B处,以每小时200KM的速度向北偏东60度BF方向移动,距离台风中心500KM的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响的时间.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】
(1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由A点向BF作垂线,垂足为M,若AM>500则A城不受影响,否则受影响;
(2)点A到直线BF的长为500千米的点有两点,分别设为D、G,则△ADG是等腰三角形,由于AM⊥BF,则M是DG的中点,在Rt△ADM中,解出MD的长,则可求DG长,在DG长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距离的关系则可求时间.【解答】解
(1)A城受到这次台风的影响,理由由A点向BF作垂线,垂足为M,在Rt△ABM中,∠ABM=30°,AB=600km,则AM=300km,因为300<500,所以A城要受台风影响;
(2)设BC上点D,DA=500千米,则还有一点G,有AG=500千米.因为DA=AG,所以△ADG是等腰三角形,因为AM⊥BC,所以AM是DG的垂直平分线,MD=GM,在Rt△ADM中,DA=500千米,AM=300千米,由勾股定理得,MD==400(千米),则DG=2DM=800千米,遭受台风影响的时间是t=800÷200=4(小时),答A城遭受这次台风影响时间为4小时. 25.如图,已知反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(1,m),过点A作AB⊥y轴于点B,且△AOB的面积为1.
(1)求m,k的值;
(2)若一次函数y=nx+2(n≠0)的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点,求实数n的取值范围.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)根据三角形的面积公式即可求得m的值;
(2)若一次函数y=nx+2(n≠0)的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点,则方程=nx+2有两个不同的解,利用根的判别式即可求解.【解答】解
(1)由已知得S△AOB=×1×m=1,解得m=2,把A(1,2)代入反比例函数解析式得k=2;
(2)由
(1)知反比例函数解析式是y=,由题意得有两个不同的解,即=nx+2有两个不同的解,方程去分母,得nx2+2x﹣2=0,则△=4+8n>0,解得n>﹣且n≠0.
五、(大题共3小题,共34分)26.如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】
(1)根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,则∠B+∠BAD=90°,再根据切线的性质,由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°,则∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,则∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD;
(2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=2,根据勾股定理可计算出OC=3,则CD=OC﹣OD=2,然后利用△CDE∽△CAD,根据相似比可计算出CE,再由AE=AC﹣CE可得AE的值.【解答】
(1)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;
(2)解∵AB=2,∴OA=1,在Rt△AOC中,AC=2,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,∵△CDE∽△CAD,∴=,即=,∴CE=.∴AE=AC﹣CE=2﹣=. 27.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?【考点】二次函数的应用.【分析】
(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;
(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;
(3)先把y=150代入
(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.【解答】解
(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得,解得,∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18);
(2)W=(x﹣10)(﹣2x+60)=﹣2x2+80x﹣600=﹣2(x﹣20)2+200,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元.
(3)由150=﹣2x2+80x﹣600,解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)答该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元. 28.图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连结AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将点E(0,3)代入抛物线的解析式求得a的值,从而可得到抛物线的解析式;
(2)过点B作BF⊥y轴,垂足为F.先依据配方法可求得点B的坐标,然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形,从而可证明△BAE为直角三角形,接下来证明△BFE∽△EOA,由相似三角形的性质可证明=,从而可得到∠CBE=∠EAB,于是可证明∠CBA=90°,故此CB是△ABE的外接圆的切线;
(3)过点D作DP′⊥DE,交y轴与点P′,过点E作EP″⊥DE,交x轴与点P″.然后证明△DEO、△P′DO、△EP″O均与△BAE相似,然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度,从而可求得点P的坐标.【解答】解
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3).∵将点E(0,3)代入抛物线的解析式得﹣3a=3,∴a=﹣1.∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴B(1,4).
(2)如图1所示过点B作BF⊥y轴,垂足为F.∵A(3,0),E(0,3),∴OE=OA=3.∴∠OEA=45°.∵E(0,3),B(1,4),∴EF=BF.∴∠FEB=45°.∴∠BEA=90°.∴AB为△ABE的外接圆的直径.∵∠FEB=∠OEA=45°,∠EOA=∠BFE,∴△BFE∽△AOE.∴tan∠EAB==.∵tan∠CBE=,∴∠CBE=∠EAB.∵∠EAB+∠EBA=90°,∴∠CBE+∠EBA=90°,即∠CBA=90°.∴CB是△ABE的外接圆的切线.
(3)如图2所示∵且∠DOE=∠BEA=90°,∴△EOD∽△AEB.∴当点P与点O重合时,△EPD∽△AEB.∴点P的坐标为(0,0).过点D作DP′⊥DE,交y轴与点P′.∵∠P′ED=∠DEO,∠DOE=∠EDP′,∴△EDP′∽△EOD.又∵△EOD∽△AEB,∴△EDP′∽△AEB.∵∠ODP′+∠OP′D=90°,∠DEP′+∠OP′D=90°,∴∠ODP′=∠DEP′.∴=,即.∴OP′=.∴点P′的坐标为(0,﹣).过点E作EP″⊥DE,交x轴与点P″.∵∠EDP″=∠EDO,∠EOD=∠DEP″,∴△EDO∽△P″DE.∵又∵△EOD∽△AEB,∴△EDP″∽△AEB.∴∠EP″O=∠BAE.∴tan∠EP″O==,即=.∴OP″=9.∴P″(9,0).综上所述,点P的坐标为(0,0)或(0,﹣)或(9,0). xx年7月30日。