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2019-2020年九年级(上)期中数学试卷II 一.选择题(每题4分,共32分)1.(4分)(2011秋•相城区期末)抛物线y=(x﹣1)2﹣4的顶点坐标是( ) A.(1,4)B.(1,﹣4)C.(﹣1,4)D.(﹣1,﹣4)考点二次函数的性质.分析已知解析式为抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.解答解∵抛物线y=(x﹣1)2﹣4为顶点式,∴抛物线顶点坐标为(1,﹣4).故选B.点评抛物线解析式的顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标为(h,k). 2.(4分)(xx•怀化)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB的值等于( ) A.B.C.D.考点互余两角三角函数的关系.分析在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.解答解在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,则cosB=sinA=.故选B.点评本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数相等. 3.(4分)(xx•河北区三模)如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,DE EC=23,则S△DEF S△ABF=( ) A.23B.49C.25D.425考点相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.专题计算题.分析根据已知可得到相似三角形,从而可得到其相似比,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案.解答解如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△DFE∽△BFA,∴S△DEF S△ABF=DE2AB2,∵DE EC=23,∴DE DC=DE AB=25,∴S△DEF S△ABF=425故选D.点评本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相似三角形边长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 4.(4分)(xx•孝感)在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是( ) A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)考点位似变换;坐标与图形性质.分析根据题意画出相应的图形,找出点E的对应点E′的坐标即可.解答解根据题意得则点E的对应点E′的坐标是(﹣2,1)或(2,﹣1).故选D.点评此题考查了位似图形,以及坐标与图形性质,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方. 5.(4分)(xx•常州)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论
(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;
(2)当时,y<0;
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是( ) A.3B.2C.1D.0考点二次函数的最值;抛物线与x轴的交点.专题压轴题.分析根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.解答解;由表格数据可知,二次函数的对称轴为直线x=1,所以,当x=1时,二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣4;故
(1)小题错误;根据表格数据,当﹣1<x<3时,y<0,所以,﹣<x<2时,y<0正确,故
(2)小题正确;二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,分别为(﹣1,0)(3,0),它们分别在y轴两侧,故
(3)小题正确;综上所述,结论正确的是
(2)
(3)共2个.故选B.点评本题考查了二次函数的最值,抛物线与x轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 6.(4分)(xx•聊城)如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2.∠DAC=∠B,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为( ) A.aB.C.D.a考点相似三角形的判定与性质.专题压轴题.分析首先证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得△ACD的面积△ABC的面积为14,因为△ABD的面积为a,进而求出△ACD的面积.解答解∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积△ABC的面积为14,∴△ACD的面积△ABD的面积=13,∵△ABD的面积为a,∴△ACD的面积为a,故选C.点评本题考查了相似三角形的判定和性质相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中考常见题型. 7.(4分)(xx•东营)若定义f(a,b)=(﹣a,b),g(m,n)=(m,﹣n),例如f(1,2)=(﹣1,2),g(﹣4,﹣5)=(﹣4,5),则g(f(2,﹣3))=( ) A.(2,﹣3)B.(﹣2,3)C.(2,3)D.(﹣2,﹣3)考点点的坐标.专题新定义.分析根据新定义先求出f(2,﹣3),然后根据g的定义解答即可.解答解根据定义,f(2,﹣3)=(﹣2,﹣3),所以,g(f(2,﹣3))=g(﹣2,﹣3)=(﹣2,3).故选B.点评本题考查了点的坐标,读懂题目信息,掌握新定义的运算规则是解题的关键. 8.(4分)(xx•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息
①ab>0;
②a+b+c<0;
③b+2c>0;
④a﹣2b+4c>0;
⑤.你认为其中正确信息的个数有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个考点二次函数图象与系数的关系.专题压轴题.分析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答解
①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<0.∵对称轴x=﹣=﹣,∴b=a<0,∴ab>0.故
①正确;
②如图,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.故
②正确;
③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,∴2a﹣2b+2c>0,即3b﹣2b+2c>0,∴b+2c>0.故
③正确;
④如图,当x=﹣时,y>0,即a﹣b+c>0.∴a﹣2b+4c>0,故
④正确;
⑤如图,对称轴x=﹣=﹣,则.故
⑤正确.综上所述,正确的结论是
①②③④⑤,共5个.故选D.点评本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定. 二.填空题(每题4分共16分)9.(4分)(xx•江阴市自主招生)在△ABC中,∠C=90°,cosB=,a=,则b= 1 .考点解直角三角形.分析根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解.解答解∵∠C=90°,cosB=,∴B=30°,∵a=,tanB==,∴b=1.点评此题考查三角函数的定义及应用. 10.(4分)(xx秋•西城区校级期中)已知(﹣3,m)、(1,m)是抛物线y=2x2+bx+3的两点,则b= 4 .考点二次函数图象上点的坐标特征.专题计算题.分析由于两点(﹣3,m)、(1,m)的纵坐标相等,可得到它们是抛物线上的对称点,于是得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1,再根据二次函数的性质得到﹣=﹣1,然后解方程即可.解答解∵(﹣3,m)、(1,m)是抛物线y=2x2+bx+3的两点,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,而抛物线的对称轴为直线=﹣,∴﹣=﹣1,∴b=4.故答案为4.点评本题考查了二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质. 11.(4分)(xx•大连)如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围 ﹣2≤x≤1 .考点二次函数的图象;一次函数的图象.专题压轴题.分析观察图象可知,y1与y2的两交点横坐标为﹣2,1;当y2≥y1时,就是两图象交点之间的部分,可求此时x的取值范围.解答解∵y1与y2的两交点横坐标为﹣2,1,当y2≥y1时,y2的图象应在y1的图象上面,即两图象交点之间的部分,∴此时x的取值范围是﹣2≤x≤1.点评此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势. 12.(4分)(xx秋•西城区校级期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则ab > 0.考点二次函数图象与系数的关系.分析根据函数图象可得各系数的关系a>0,b>0,c=0,则ab的正负即可判定.解答解由函数图象可得各系数的关系a>0,b>0,c=0,则ab>0.点评本题考查了二次函数图象与系数的关系,先分析信息,再进行判断. 三.解答题(本题共30分)13.(5分)(xx•郴州)计算.考点实数的运算.分析本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.解答解原式=2+2+1﹣2××=2.点评本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. 14.(5分)(xx秋•西城区校级期中)如图,正△ABC中,∠ADE=60°,
(1)求证△ABD∽△DCE;
(2)若BD=2,CD=4,求AE的长.考点相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.分析
(1)由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°,再证明∠BAD=∠EDC,从而证明△ABD∽△DCE;
(2)利用
(1)中的三角形相似,可得到关于CE,BD的比利式,继而求出CE的长,AE即可求.解答
(1)证明∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAD+∠ADB=120°,∵∠ADE=60°,∴∠BDA+∠EDC=120°,∴∠BAD=∠EDC,∴△ABD∽△DCE;
(2)解∵△ABD∽△DCE,∴AB CD=BD CE,∵BD=2,CD=4,∴64=2CE,∴CE=,∴AE=AB﹣CE=.点评本题考查了相似三角形的判定和性质,题目比较简单,是中考常见题型. 15.(5分)(xx秋•西城区校级期中)如图,为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进(9﹣9)m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,求该建筑物AB的高度.考点解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析设AB=x,在Rt△ABC中表示出BC,在Rt△ABD中表示出BD,再由CD=(9﹣9)m,可得出方程,解出即可.解答解设AB=x,在Rt△ABC中,BC=ABcot∠ACB=x,在Rt△ABD中,BD=ABcot∠ADB=x,则x﹣x=(9﹣9),解得x=9.答建筑物AB的高度为9米.点评本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义. 16.(5分)(xx秋•西城区校级期中)已知抛物线y=x2﹣2kx+3k+4.
(1)顶点在y轴上时,k的值为 0 .
(2)顶点在x轴上时,k的值为 4或﹣1 .
(3)抛物线经过原点时,k的值为 ﹣ .考点二次函数的性质.分析
(1)顶点在y轴上,则b=0,由此求解;
(2)顶点在x轴上,则b2﹣4ac=0,由此可以列出有关k的方程求解即可;
(3)抛物线经过原点,则c=0,由此求解.解答解
(1)∵抛物线y=x2﹣2kx+3k+4顶点在y轴上,∴﹣2k=0,解得k=0;
(2)∵抛物线y=x2﹣2kx+3k+4顶点在y轴上,∴b2﹣4ac=0,∴(﹣2k)2﹣4×1×(3k+4)=0,解得k=4或k=﹣1;
(3)∵抛物线y=x2﹣2kx+3k+4经过原点,∴3k+4=0,解得k=﹣,故答案为0;4或﹣1;;点评本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键. 17.(5分)(2011•盐城)已知二次函数y=﹣x2﹣x+.
(1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(2)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围;
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式.考点二次函数的图象;二次函数图象与几何变换.专题应用题;作图题.分析
(1)根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象,
(2)根据图象即可得出答案,
(3)根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式.解答解
(1)二次函数的顶点坐标为x==﹣1,y==2,当x=0时,y=,当y=0时,x=1或x=﹣3,图象如图
(2)据图可知当y<0时,x<﹣3,或x>1;
(3)y=﹣x2﹣x+=﹣(x+1)2+2根据二次函数图象移动特点,∴此图象沿x轴向右平移3个单位,平移后图象所对应的函数关系式y=﹣(x﹣2)2+2.点评本题主要考查了根据解析式画函数图象、二次函数图象特点、函数图象平移原则,难度适中. 18.(5分)(xx•上海)已知如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB=.求
(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.考点解直角三角形;直角三角形斜边上的中线.专题计算题.分析
(1)在Rt△ABD中,根据已知条件求出边AB的长,再由BC的长,可以求出CD的长;
(2)根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求出∠C=∠EDC,从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值.解答解
(1)∵AD是BC边上的高,△ABD和△ACD是Rt△,在Rt△ABD中,∵sinB=,AD=12,∴,∴AB=15,∴BD=,又∵BC=14,∴CD=5;
(2)在Rt△ACD中,∵E为斜边AC的中点,∴ED=EC=AC,∴∠C=∠EDC,∴tan∠EDC=tanC=.点评此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式,同时还要掌握“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点.
四、解答题(本题共20分,
19、20每小题5分21题6分22题4分)19.(5分)(xx•株洲)如图,直角△ABC中,∠C=90°,,,点P为边BC上一动点,PD∥AB,PD交AC于点D,连接AP.
(1)求AC、BC的长;
(2)设PC的长为x,△ADP的面积为y.当x为何值时,y最大,并求出最大值.考点二次函数的最值;勾股定理;相似三角形的判定与性质.专题综合题;压轴题.分析
(1)在Rt△ABC中,根据∠B的正弦值及斜边AB的长,可求出AC的长,进而可由勾股定理求得BC的长;
(2)由于PD∥AB,易证得△CPD∽△CBA,根据相似三角形得出的成比例线段,可求出CD的表达式,也就求出AD的表达式,进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积,即可求出关于y、x的函数关系式,根据所得函数的性质,可求出y的最大值及对应的x的值.解答解
(1)在Rt△ABC中,,,得,∴AC=2,根据勾股定理得BC=4;(3分)
(2)∵PD∥AB,∴△ABC∽△DPC,∴;设PC=x,则,,∴∴当x=2时,y的最大值是1.(8分)点评此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识. 20.(5分)(xx秋•西城区校级期中)如图,直线y=3x和y=2x分别与直线x=2相交于点A、B,将抛物线y=x2沿线段OB移动,使其顶点始终在线段OB上,抛物线与直线x=2相交于点C,设△AOC的面积为S,求S的取值范围.考点二次函数图象与几何变换.分析要求△AOC的面积,先用a表示出AC的长度,AC边上的高等于2,所以三角形AOC的面积=,然后整理出面积和a的函数关系式,求出S的范围.解答解设抛物线平移到顶点P(a,2a)处,其解析式为y=(x﹣a)2+2a与直线x=2的交点C(2,(2﹣a)2+2a),A(2,6)AC=6﹣(2﹣a)2﹣2a,S=2[6﹣(2﹣a)2﹣2a]/2=6﹣4+4a﹣a2﹣2a=﹣a2+2a+2当0≤a≤2时,有最大值a=1时,S最大=3;当a=0或2时S最小=2.故S的取值范围是2≤S≤3.点评主要考查二次函数的性质,根据二次函数的性质求最值. 21.(6分)(xx•武汉)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?考点二次函数的应用.专题综合题.分析
(1)根据题意可知y与x的函数关系式.
(2)根据题意可知y=﹣10﹣(x﹣
5.5)2+
2402.5,当x=
5.5时y有最大值.
(3)设y=2200,解得x的值.然后分情况讨论解.解答解
(1)由题意得y=(210﹣10x)(50+x﹣40)=﹣10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数);
(2)由
(1)中的y与x的解析式配方得y=﹣10(x﹣
5.5)2+
2402.5.∵a=﹣10<0,∴当x=
5.5时,y有最大值
2402.5.∵0<x≤15,且x为整数,当x=5时,50+x=55,y=2400(元),当x=6时,50+x=56,y=2400(元)∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.
(3)当y=2200时,﹣10x2+110x+2100=2200,解得x1=1,x2=10.∴当x=1时,50+x=51,当x=10时,50+x=60.∴当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元).点评本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题,是一道综合题. 22.(4分)(xx秋•西城区校级期中)当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如由抛物线y=x2﹣2mx+m2+2m﹣1
①有y=(x﹣m)2+2m﹣1
②,所以抛物线顶点坐标为(m,2m﹣1),即x=m
③,y=2m﹣1
④.当m的值变化时,x,y的值也随之变化,因而y的值也随x值的变化而变化.将
③代入
④,得y=2x﹣1
⑤.可见,不论m取任何实数,抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x﹣1;
(1)根据上述阅读材料提供的方法,确定点(﹣2m,m﹣1)满足的函数关系式为 y=﹣x﹣1 .
(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线y=x2﹣x+1+m+顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.考点二次函数的性质.分析
(1)令x=﹣2m
①,y=m﹣1
②,由
①得出m=﹣x
③,将
③代入
②,即可确定点(﹣2m,m﹣1)满足的函数关系式;
(2)根据材料提示,先把抛物线解析式配方成顶点式,写出顶点的表达式,再消掉字母m即可得到顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.解答解
(1)令x=﹣2m
①,y=m﹣1
②,由
①得m=﹣x
③,将
③代入
②,得y=﹣x﹣1,即点(﹣2m,m﹣1)满足的函数关系式为y=﹣x﹣1.故答案为y=﹣x﹣1;
(2)∵y=x2﹣x+1+m+=(x2﹣x+)+m+1=(x﹣)2+m+1,∴抛物线的顶点坐标为(,m+1),设顶点为P(x,y),则x=
①,y=m+1
②,由
①得出m=
③,将
③代入
②,得y=+1.∴顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为y=+1.点评本题考查了二次函数的性质,函数解析式一般形式与顶点式的转化,读懂材料提供的信息,写出顶点的坐标,并会消掉字母m是解题的关键,灵活性较强,有创意.
五、解答题(本题共22分,第23题6分,第24题7分,第25题9分)23.(6分)(xx•黔东南州)已知二次函数y=x2+ax+a﹣2.
(1)求证不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;
(3)若
(2)中二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.考点抛物线与x轴的交点.专题压轴题.分析
(1)由判别式△=b2﹣4ac可证明a为任一实数.
(2)先求出两根之和及两根之积的值,再利用两点距离公式求解.
(3)利用第2小题中两个交点的距离为来进行计算.解答解
(1)因为△=a2﹣4(a﹣2)=(a﹣2)2+4>0,所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.
(2)设x
1、x2是y=x2+ax+a﹣2=0的两个根,则x1+x2=﹣a,x1•x2=a﹣2,因两交点的距离是,所以.即(x1﹣x2)2=13变形为(x1+x2)2﹣4x1•x2=13即(﹣a)2﹣4(a﹣2)=13整理得(a﹣5)(a+1)=0解方程得a=5或﹣1又∵a<0∴a=﹣1∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣3.
(3)设点P的坐标为(x0,y0),∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,∴AB=∴S△PAB=AB•|y0|=∴=即|y0|=3,则y0=±3当y0=3时,x02﹣x0﹣3=3,即(x0﹣3)(x0+2)=0解此方程得x0=﹣2或3当y0=﹣3时,x02﹣x0﹣3=﹣3,即x0(x0﹣1)=0解此方程得x0=0或1(11分)综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(﹣2,3),(3,3),(0,﹣3)或(1,﹣3).点评要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|,并熟练运用. 24.(7分)(xx•牡丹江)已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=CB,过程如下过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图
(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(2)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,则CD=___,CB=___.考点全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质.分析
(1)过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,证明△ACE≌△DCB,则△ECB为等腰直角三角形,据此即可得到BE=CB,根据BE=AB﹣AE即可证得;
(2)过点B作BH⊥CD于点H,证明△BDH是等腰直角三角形,求得DH的长,在直角△BCH中,利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得.解答解
(1)如图
(2)AB﹣BD=CB.证明过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,∵∠ACD=90°,∴∠ACE=90°﹣∠DCE,∠BCD=90°﹣∠ECD,∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠BFD,∵∠AFC=∠BFD,∴∠CAE=∠D,又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AB﹣AE,∴BE=AB﹣BD,∴AB﹣BD=CB.如图
(3)BD﹣AB=CB.证明过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,∵∠ACD=90°,∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,∵∠AFB=∠CFD,∴∠CAE=∠D,又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AE﹣AB,∴BE=BD﹣AB,∴BD﹣AB=CB.
(2)MN在绕点A旋转过程中,这个的意思并没有指明是哪种情况,∴综合了第一个图和第二个图两种情况若是第1个图易证△ACE≌△DCB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴∠AEC=45°=∠CBD,过D作DH⊥CB.则△DHB为等腰直角三角形.BD=BH,∴BH=DH=1.直角△CDH中,∠DCH=30°,∴CD=2DH=2,CH=.∴CB=+1若是第二个图过D作DH⊥CB交CB延长线于H.解法类似上面,CD=2,但是CB=﹣1.点评本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,注意全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等,对应角相等. 25.(9分)(xx•广安)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.
①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)考点二次函数综合题.专题代数几何综合题;压轴题.分析
(1)把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)
①根据点A、B的坐标求出OA=OB,从而得到△AOB是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质,PD越大,△PDE的周长最大,再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时,PD最大,再求出直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立消掉y,得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,从而得到点P的坐标;
②先确定出抛物线的对称轴,然后(i)分点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ,设点P的横坐标为n,表示出PQ的长,即PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解;(ii)点N在对称轴上时,同理求出△APF和△ANQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ,根据点A的坐标求出点P的纵坐标,再代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点P的坐标.解答解
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),∴,解得,所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)
①∵A(﹣3,0),B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF⊥x轴,∴∠AEF=90°﹣45°=45°,又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PD越大,△PDE的周长越大,易得直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,联立,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m=时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,此时x=﹣,y=﹣+=,∴点P(﹣,)时,△PDE的周长最大;
②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1,(i)如图1,点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,∴∠APF=∠QPM,∵在△APF和△MPQ中,,∴△APF≌△MPQ(AAS),∴PF=PQ,设点P的横坐标为n(n<0),则PQ=﹣1﹣n,即PF=﹣1﹣n,∴点P的坐标为(n,﹣1﹣n),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,整理得,n2+n﹣4=0,解得n1=(舍去),n2=,﹣1﹣n=﹣1﹣=,所以,点P的坐标为(,);(ii)如图2,点N在对称轴上时,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,∴∠FPA=∠QAN,又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,∴△APF≌△NAQ,∴PF=AQ,设点P坐标为P(x,﹣x2﹣2x+3),则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,解得x=﹣1(不合题意,舍去)或x=﹣﹣1,此时点P坐标为(﹣﹣1,2).综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时,点P坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的坐标为(﹣﹣1,2).点评本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,抛物线上点的坐标特征,
(2)确定出△PDE是等腰直角三角形,从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键,
(3)根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键. 。