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2019-2020年九年级(上)期末数学试卷(解析版)V
一、选择题(本题14个小题,每小题3分,共42分,每题中只有一个答案符合要求)1.下列说法中正确的是( )A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图象”是随机事件B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次C.“概率为
0.0001的事件”是不可能事件D.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件2.如同,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.=B.=C.∠ADE=∠CD.∠AED=∠B3.从2,3,4,5中任意选两个数,记作a和b,那么点(a,b)在函数y=图象上的概率是( )A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中,若点P(m,m﹣n)与点Q(2,3)关于原点对称,则点M(m,n)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )A.80°B.100°C.110°D.130°6.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,下列说法中错误的是( )A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,﹣3)B.顶点坐标是(1,﹣3)C.函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小7.如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是( )A.4B.
4.5C.5D.
5.58.对于函数y=,下列说法错误的是( )A.这个函数的图象位于第
一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小9.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根,则该三角形的周长可以是( )A.5B.7C.5或7D.1010.已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是( )A.(﹣6,1)B.(1,6)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)11.已知正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( )A.6B.4C.3D.212.如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )A.B.C.D.13.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,当水面下降1m时,水面的宽度为( )A.3B.2C.3D.214.如图,△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是( )A.B.12C.14D.21
二、填空题(本题5个小题,每小题3分,共15分)15.某校去年投资2万元购买实验器材,预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,则可列方程为 .16.如图,将弧长为6π,圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)则圆锥形纸帽的高是 .17.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是8,则△ABC的面积为 .18.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为 m(结果保留根号)19.如图,在平面直角坐标系中,过点M(﹣3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,则四边形MAOB的面积为 .
三、解答题(本题共7小题,共63分)20.育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动,需要选拔活动主持人,经过全校学生投票推荐,有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人.
(1)小明认为,如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人,不是男生就是女生,因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同,你同意他的说法吗?为什么?
(2)如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人,请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.21.如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据≈
1.732)22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证∠1=∠2.23.如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=2.
(1)求证AC是⊙O的切线;
(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)24.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.25.如图,直线y=2x与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点A(1,a),B是反比例函数图象上一点,直线OB与x轴的夹角为α,tanα=.
(1)求k的值.
(2)求点B的坐标.
(3)设点P(m,0),使△PAB的面积为2,求m的值.26.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. xx学年山东省临沂市沂水县九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本题14个小题,每小题3分,共42分,每题中只有一个答案符合要求)1.下列说法中正确的是( )A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图象”是随机事件B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次C.“概率为
0.0001的事件”是不可能事件D.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件【考点】随机事件.【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.【解答】解“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图象”是必然事件,A错误;任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的不一定是5次,B错误;“概率为
0.0001的事件”是随机事件,C错误;“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,D正确,故选D. 2.如同,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.=B.=C.∠ADE=∠CD.∠AED=∠B【考点】相似三角形的判定.【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可.【解答】解∵∠DAE=∠CAB,∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED;当=即=时,△ABC∽△AED.故选A. 3.从2,3,4,5中任意选两个数,记作a和b,那么点(a,b)在函数y=图象上的概率是( )A.B.C.D.【考点】列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与点(a,b)在函数y=图象上的情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解画树状图得∵共有12种等可能的结果,点(a,b)在函数y=图象上的有(3,4),(4,3);∴点(a,b)在函数y=图象上的概率是=.故选D. 4.在平面直角坐标系中,若点P(m,m﹣n)与点Q(2,3)关于原点对称,则点M(m,n)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标.【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时,横、纵坐标都变成原数的相反数求出m和n的值,即可得出答案.【解答】解根据两个点关于原点对称,则横、纵坐标都是原数的相反数,得m=﹣2,m﹣n=﹣3,∴n=1.∴点M(m,n)在第二象限;故选B. 5.如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )A.80°B.100°C.110°D.130°【考点】圆周角定理.【分析】连接OC,然后根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC=40°,然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°,然后根据周角的定义可求∠1=260°,然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数.【解答】解连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°,∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°.故选D. 6.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,下列说法中错误的是( )A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,﹣3)B.顶点坐标是(1,﹣3)C.函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质;二次函数的图象.【分析】A、将x=0代入y=x2﹣2x﹣3,求出y=﹣3,得出函数图象与y轴的交点坐标,即可判断;B、将一般式化为顶点式,求出顶点坐标,即可判断;C、将y=0代入y=x2﹣2x﹣3,求出x的值,得到函数图象与x轴的交点坐标,即可判断;D、利用二次函数的增减性即可判断.【解答】解A、∵y=x2﹣2x﹣3,∴x=0时,y=﹣3,∴函数图象与y轴的交点坐标是(0,﹣3),故本选项说法正确;B、∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点坐标是(1,﹣4),故本选项说法错误;C、∵y=x2﹣2x﹣3,∴y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x=3或﹣1,∴函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0),故本选项说法正确;D、∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴对称轴为直线x=1,又∵a=1>0,开口向上,∴x<1时,y随x的增大而减小,∴x<0时,y随x的增大而减小,故本选项说法正确;故选B. 7.如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是( )A.4B.
4.5C.5D.
5.5【考点】平行线分线段成比例.【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论.【解答】解∵直线a∥b∥c,AC=4,CE=6,BD=3,∴=,即=,解得DF=
4.5.故选B. 8.对于函数y=,下列说法错误的是( )A.这个函数的图象位于第
一、第三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小【考点】反比例函数的性质.【分析】根据反比例函数的性质对于反比例函数y=,当k>0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x增大而增大解答即可.【解答】解函数y=的图象位于第
一、第三象限,A正确;图象既是轴对称图形又是中心对称图形,B正确;当x>0时,y随x的增大而减小,C错误;当x<0时,y随x的增大而减小,D正确,由于该题选择错误的,故选C. 9.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根,则该三角形的周长可以是( )A.5B.7C.5或7D.10【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长,然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长,进而求出三角形的周长.【解答】解解方程x2﹣4x+3=0,(x﹣1)(x﹣3)=0解得x1=3,x2=1;∵当底为3,腰为1时,由于3>1+1,不符合三角形三边关系,不能构成三角形;∴等腰三角形的底为1,腰为3;∴三角形的周长为1+3+3=7.故选B. 10.已知反比例函数y=的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是( )A.(﹣6,1)B.(1,6)C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】先根据点(2,3),在反比例函数y=的图象上求出k的值,再根据k=xy的特点对各选项进行逐一判断.【解答】解∵反比例函数y=的图象经过点(2,3),∴k=2×3=6,A、∵(﹣6)×1=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;B、∵1×6=6,∴此点在反比例函数图象上;C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上;D、∵3×(﹣2)=﹣6≠6,∴此点不在反比例函数图象上.故选B. 11.已知正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( )A.6B.4C.3D.2【考点】正多边形和圆.【分析】作AD⊥BC与D,连接OB,则AD经过圆心O,∠ODB=90°,OD=1,由等边三角形的性质得出BD=CD,∠OBD=∠ABC=30°,得出OA=OB=2OD,求出AD、BC,△ABC的面积=BC•AD,即可得出结果.【解答】解如图所示作AD⊥BC与D,连接OB,则AD经过圆心O,∠ODB=90°,OD=1,∵△ABC是等边三角形,∴BD=CD,∠OBD=∠ABC=30°,∴OA=OB=2OD=2,∴AD=3,BD=,∴AB==2,∴BC=2,∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3;故选C. 12.如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )A.B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理;勾股定理的逆定理.【分析】过B点作BD⊥AC,得AB的长,AD的长,利用锐角三角函数得结果.【解答】解过B点作BD⊥AC,如图,由勾股定理得,AB==,AD==2cosA===,故选D. 13.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,当水面下降1m时,水面的宽度为( )A.3B.2C.3D.2【考点】二次函数的应用.【分析】根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.【解答】解建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(﹣2,0),得出a=﹣
0.5,所以抛物线解析式为y=﹣
0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出﹣1=﹣
0.5x2+2,解得x=±,所以水面宽度增加到2米,故选B. 14.如图,△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是( )A.B.12C.14D.21【考点】解直角三角形.【分析】根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长,即可得出三角形的面积.【解答】解过点A作AD⊥BC,∵△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,∴cosB==,∴∠B=45°,∵sinC===,∴AD=3,∴CD==4,∴BD=3,则△ABC的面积是×AD×BC=×3×(3+4)=.故选A.
二、填空题(本题5个小题,每小题3分,共15分)15.某校去年投资2万元购买实验器材,预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,则可列方程为 2(1+x)+2(1+x)2=8 .【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,根据题意可得出的方程.【解答】解设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,今年的投资金额为2(1+x);明年的投资金额为2(1+x)2;所以根据题意可得出的方程2(1+x)+2(1+x)2=8.故答案为2(1+x)+2(1+x)2=8. 16.如图,将弧长为6π,圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)则圆锥形纸帽的高是 6 .【考点】圆锥的计算.【分析】根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径,利用勾股定理求得圆锥的高即可.【解答】解∵弧长为6π,∴底面半径为6π÷2π=3,∵圆心角为120°,∴=6π,解得R=9,∴圆锥的高为=6,故答案为6. 17.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是8,则△ABC的面积为 18 .【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据相似三角形的判定,可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质,可得答案.【解答】解;∵在△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵=,∴=()2=,,∴S△ABC=18,故答案为18. 18.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为 (5+5) m(结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】作CE⊥AB于点E,则△BCE和△BCD都是直角三角形,即可求得CE,BE的长,然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长,进而求得AB的长,即为大树的高度.【解答】解作CE⊥AB于点E,在Rt△BCE中,BE=CD=5m,CE==5m,在Rt△ACE中,AE=CE•tan45°=5m,AB=BE+AE=(5+5)m.故答案为(5+5). 19.如图,在平面直角坐标系中,过点M(﹣3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,则四边形MAOB的面积为 10 .【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d),根据反比例函数y=的图象过A,B两点,所以ab=4,cd=4,进而得到S△AOC=|ab|=2,S△BOD=|cd|=2,S矩形MCDO=3×2=6,根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO,即可解答.【解答】解如图,设点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(c,d),∵反比例函数y=的图象过A,B两点,∴ab=4,cd=4,∴S△AOC=|ab|=2,S△BOD=|cd|=2,∵点M(﹣3,2),∴S矩形MCDO=3×2=6,∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10,故答案为10.
三、解答题(本题共7小题,共63分)20.育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动,需要选拔活动主持人,经过全校学生投票推荐,有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人.
(1)小明认为,如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人,不是男生就是女生,因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同,你同意他的说法吗?为什么?
(2)如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人,请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.【考点】列表法与树状图法;可能性的大小.【分析】
(1)根据概率的意义解答即可;
(2)画出树状图,然后根据概率的意义列式计算即可得解.【解答】解
(1)不同意他的说法.理由如下∵有2名男生和1名女生,∴主持人是男生的概率=,主持人是女生的概率=;
(2)画出树状图如下一共有6种情况,恰好是1名男生和1名女生的有4种情况,所以,P(恰好是1名男生和1名女生)==. 21.如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据≈
1.732)【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】过点C作CD⊥AB于点D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度,利用锐角三角函数关系进行求解即可.【解答】解如图,过点C作CD⊥AB于点D,AB=20×1=20(海里),∵∠CAF=60°,∠CBE=30°,∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°﹣∠CAF=30°,∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°,∴∠C=∠CAB,∴BC=BA=20(海里),∠CBD=90°﹣∠CBE=60°,∴CD=BC•sin∠CBD=≈17(海里). 22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证∠1=∠2.【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.【分析】
(1)根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°,再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°;
(2)根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE,再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE,则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,加上∠BAE=∠CBD,所以∠1=∠2.【解答】
(1)解∵BC=DC,∴∠CBD=∠CDB=39°,∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°;
(2)证明∵EC=BC,∴∠CEB=∠CBE,而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,∵∠BAE=∠BDC=∠CBD,∴∠1=∠2. 23.如图,点B、C、D都在⊙O上,过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A,连接BC,∠B=∠A=30°,BD=2.
(1)求证AC是⊙O的切线;
(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)【考点】切线的判定;扇形面积的计算.【分析】
(1)连接OC,根据圆周角定理求出∠COA,根据三角形内角和定理求出∠OCA,根据切线的判定推出即可;
(2)求出DE,解直角三角形求出OC,分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积,即可得出答案.【解答】
(1)证明连接OC,交BD于E,∵∠B=30°,∠B=∠COD,∴∠COD=60°,∵∠A=30°,∴∠OCA=90°,即OC⊥AC,∴AC是⊙O的切线;
(2)解∵AC∥BD,∠OCA=90°,∴∠OED=∠OCA=90°,∴DE=BD=,∵sin∠COD=,∴OD=2,在Rt△ACO中,tan∠COA=,∴AC=2,∴S阴影=×2×2﹣=2﹣. 24.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.【分析】
(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的长.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠EAF,又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA;
(2)解∵∠B=90°,AB=12,BM=5,∴AM==13,AD=12,∵F是AM的中点,∴AF=AM=
6.5,∵△ABM∽△EFA,∴,即,∴AE=
16.9,∴DE=AE﹣AD=
4.9. 25.如图,直线y=2x与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点A(1,a),B是反比例函数图象上一点,直线OB与x轴的夹角为α,tanα=.
(1)求k的值.
(2)求点B的坐标.
(3)设点P(m,0),使△PAB的面积为2,求m的值.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)把点A(1,a)代入y=2x,求出a=2,再把A(1,2)代入y=,即可求出k的值;
(2)过B作BC⊥x轴于点C.在Rt△BOC中,由tanα=,可设B(2h,h).将B(2h,h)代入y=,求出h的值,即可得到点B的坐标;
(3)由A(1,2),B(2,1),利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+3,那么直线AB与x轴交点D的坐标为(3,0).根据△PAB的面积为2列出方程|3﹣m|×(2﹣1)=2,解方程即可求出m的值.【解答】解
(1)把点A(1,a)代入y=2x,得a=2,则A(1,2).把A(1,2)代入y=,得k=1×2=2;
(2)过B作BC⊥x轴于点C.∵在Rt△BOC中,tanα=,∴可设B(2h,h).∵B(2h,h)在反比例函数y=的图象上,∴2h2=2,解得h=±1,∵h>0,∴h=1,∴B(2,1);
(3)∵A(1,2),B(2,1),∴直线AB的解析式为y=﹣x+3,设直线AB与x轴交于点D,则D(3,0).∵S△PAB=S△PAD﹣S△PBD=2,点P(m,0),∴|3﹣m|×(2﹣1)=2,解得m1=﹣1,m2=7. 26.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组,通过解方程组求得系数的值;
(2)设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标;
(3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为(x,x+3),则D点坐标为(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.【解答】解
(1)把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得.故该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.
(2)由
(1)知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B(1,0).∵S△AOP=4S△BOC,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3.整理,得(x+1)2=0或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1或x=﹣1±2.则符合条件的点P的坐标为(﹣1,4)或(﹣1+2,﹣4)或(﹣1﹣2,﹣4);
(3)设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(﹣3,0),C(0,3)代入,得,解得.即直线AC的解析式为y=x+3.设Q点坐标为(x,x+3),(﹣3≤x≤0),则D点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+,∴当x=﹣时,QD有最大值. xx年8月27日。