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2019-2020年九年级(上)第一次月考数学试卷I
一、选择题1.(3分)下面关于x的方程中
①ax2+bx+c=0;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;
③x+3=;
④(a2+a+1)x2﹣a=0;
(5)=x﹣1,一元二次方程的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 2.(3分)(xx•北仑区模拟)用配方法解方程2x2﹣x﹣1=0,变形结果正确的是( ) A.(x﹣)2=B.(x﹣)2=C.(x﹣)2=D.(x﹣)2= 3.(3分)(xx•内江)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( ) A.k>B.k≥C.k>且k≠1D.k≥且k≠1 4.(3分)(xx•黑龙江)哈尔滨市政府为了申办xx年冬奥委,决定改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,希望绿地面积可以增加44%,这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A.19%B.20%C.21%D.22% 5.(3分)(xx•宝山区一模)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) A.B.C.D. 6.(3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位,则新抛物线的解析式是( ) A.y=2(x﹣2)2+2B.y=2(x+2)2﹣2C.y=2(x﹣2)2﹣2D.y=2(x+2)2+2 7.(3分)(xx•咸宁)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(﹣2,0)、B(0,0)、C(﹣3,y1)、D(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.不能确定 8.(3分)(xx•济宁)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( ) A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b
二、填空题(每题3分,共24分)9.(3分)(xx•吉林)把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是 _________ . 10.(3分)方程x(x﹣3)=x的根是 _________ . 11.(3分)二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点,则a的值为 _________ . 12.(3分)一次会议上,每两个参加会议的人都相互握一次手,有人统计一共握手78次,则这次会议参加的人数是 _________ . 13.(3分)(xx•襄阳)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位m)与滑行时间x(单位s)之间的函数关系式是y=60x﹣
1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 _________ m才能停下来. 14.(3分)(xx•兰州)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是
2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树
0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 _________ 米. 15.(3分)(xx•济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣4,则= _________ . 16.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论
①ac<0;
②当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
④当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的结论是 _________ .
三、解答题(共72分)17.(8分)
(1)解方程3x(x﹣2)=4﹣2x;
(2)已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图象过点(0,﹣3),求此函数关系式. 18.(7分)(xx•新疆)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米? 19.(8分)在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后,画出直线y=x﹣1和抛物线y=x2﹣3x+2的图象根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)抛物线与x轴的交点坐标为 _________ ,不等式x2﹣3x+2>x﹣1的解集为 _________ . 20.(8分)把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q.
(1)求顶点P的坐标;
(2)写出平移过程;
(3)求图中阴影部分的面积. 21.(9分)已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一个根为2
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证方程x2+px+q=0有两个不等的实数根;
(3)若方程x2+px+q+1=0有两个相等的实数根,求方程x2+px+q=0两根.22.(10分)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数y=﹣10x+1000,设公司获得的总利润(总利润=总销售额﹣总成本)为P元.
(1)求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若总利润为5250元时,销售单价是多少?
(3)根据题意判断当x取何值时,P的值最大?最大值是多少? 23.(10分)问题背景设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根分别是x1,x2则x1+x2=﹣,x1x2=
(1)若x1x2=21时,求的值类比探究
(2)若x1x2=11时,则= _________
(3)若x1x2=31时,则= _________
(4)若x1x2=m1时,则= _________ (用m的式子表示)拓展延伸
(5)若x1x2=m n时,则= _________ . 24.(12分)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)若点E在x轴上,点F在抛物线上.是否存在以C,D,E,F为顶点且以CD为一边的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.xx学年湖北省咸宁市红旗路中学九年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题1.(3分)下面关于x的方程中
①ax2+bx+c=0;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;
③x+3=;
④(a2+a+1)x2﹣a=0;
(5)=x﹣1,一元二次方程的个数是( ) A.1B.2C.3D.4考点一元二次方程的定义.分析一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.解答解
①ax2+bx+c=0的二次项系数可能为0;
②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1是一元二次方程;
③x+3=不是整式方程;
④(a2+a+1)x2﹣a=0整理得[(a+)2+]x2﹣a=0,由于[(a+)2+]>0,故(a2+a+1)x2﹣a=0是一元二次方程;
⑤=x﹣1不是整式方程.故选B.点评一元二次方程必须满足三个条件
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程. 2.(3分)(xx•北仑区模拟)用配方法解方程2x2﹣x﹣1=0,变形结果正确的是( ) A.(x﹣)2=B.(x﹣)2=C.(x﹣)2=D.(x﹣)2=考点解一元二次方程-配方法.专题配方法.分析首先把二次项系数化为1,然后进行移项,再进行配方,方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可变形成左边是完全平方,右边是常数的形式.解答解∵2x2﹣x﹣1=0∴2x2﹣x=1∴x2﹣x=∴x2﹣x+=+∴(x﹣)2=故选D.点评配方法的一般步骤
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 3.(3分)(xx•内江)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( ) A.k>B.k≥C.k>且k≠1D.k≥且k≠1考点根的判别式;一元二次方程的定义.分析根据判别式的意义得到△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,然后解不等式即可.解答解∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,∴△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,解得k>;且k﹣1≠0,即k≠1.故选C.点评此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根. 4.(3分)(xx•黑龙江)哈尔滨市政府为了申办xx年冬奥委,决定改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,希望绿地面积可以增加44%,这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A.19%B.20%C.21%D.22%考点一元二次方程的应用.专题增长率问题.分析增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),本题可参照增长率问题求解.设这两年平均每年绿地面积的增长率是x,因为增长了2次,所以(1+x)2=1+44%,解这个方程即可求解.解答解设这两年平均每年绿地面积的增长率是x,则(1+x)2=1+44%,解之得x=
0.2或﹣
2.2(舍去)即x=20%.答这两年平均每年绿地面积的增长率是20%.故选B.点评本题考查求平均变化率的方法.掌握求增长率的等量关系增长后的量=(1+增长率)增长的次数×增长前的量. 5.(3分)(xx•宝山区一模)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) A.B.C.D.考点二次函数的图象;一次函数的图象.分析可先根据一次函数的图象判断a、b的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.解答解A、由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,错误;B、由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=﹣<0,错误;C、由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=﹣<0,正确.D、由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,错误;故选C.点评应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质开口方向、对称轴、顶点坐标等. 6.(3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位,则新抛物线的解析式是( ) A.y=2(x﹣2)2+2B.y=2(x+2)2﹣2C.y=2(x﹣2)2﹣2D.y=2(x+2)2+2考点二次函数图象与几何变换.分析易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.解答解原抛物线的顶点为(0,0),分别向上、向右平移2个单位,那么新抛物线的顶点为(2,2);可设新抛物线的解析式为y=2(x﹣h)2+k,代入得y=2(x﹣2)2+2,故选A.点评抛物线平移不改变二次项的系数的值,解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标. 7.(3分)(xx•咸宁)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(﹣2,0)、B(0,0)、C(﹣3,y1)、D(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.不能确定考点二次函数图象上点的坐标特征.专题压轴题.分析根据A(﹣2,0)、O(0,0)两点可确定抛物线的对称轴,再根据开口方向,B、C两点与对称轴的远近,判断y1与y2的大小关系.解答解∵抛物线过A(﹣2,0)、O(0,0)两点,∴抛物线的对称轴为x==﹣1,∵a<0,抛物线开口向下,离对称轴越远,函数值越小,比较可知C点离对称轴远,对应的纵坐标值小,即y1>y2,故选A.点评比较抛物线上两点纵坐标的大小,关键是确定对称轴,开口方向,两点与对称轴的远近. 8.(3分)(xx•济宁)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( ) A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b考点抛物线与x轴的交点.专题数形结合.分析依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图,根据二次函数的增减性求解.解答解依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示.函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a<b).方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1,方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.由m<n,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少,则有m<a;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有b<n.综上所述,可知m<a<b<n.故选A.点评本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想.解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算.
二、填空题(每题3分,共24分)9.(3分)(xx•吉林)把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是 3x2﹣5x﹣2=0 .考点一元二次方程的一般形式.分析一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),据此即可求解.解答解一元二次方程3x2=5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2=0.点评在移项的过程中容易出现的错误是忘记变号. 10.(3分)方程x(x﹣3)=x的根是 x1=0,x2=4 .考点解一元二次方程-因式分解法.分析先移项,再提取公因式,求出x的值即可.解答解移项得,x(x﹣3)﹣x=0,提取公因式得,x(x﹣3﹣1)=0,即x(x﹣4)=0,解得x1=0,x2=4.故答案为x1=0,x2=4.点评本题考查的是解一元二次方程﹣因式分解法,熟知利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键. 11.(3分)二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点,则a的值为 1 .考点二次函数图象上点的坐标特征.分析将(0,0)代入y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1即可得出a的值.解答解∵二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点,∴a2﹣1=0,∴a=±1,∵a﹣1≠0,∴a≠1,∴a的值为1.故答案为1.点评本题考查了二次函数图象上点的特征,图象过原点,可得出x=0,y=0. 12.(3分)一次会议上,每两个参加会议的人都相互握一次手,有人统计一共握手78次,则这次会议参加的人数是 13 .考点一元二次方程的应用.分析设参加会议有x人,每个人都与其他(x﹣1)人握手,共握手次数为x(x﹣1),根据题意列方程.解答解设参加会议有x人,依题意得x(x﹣1)=78,整理得x2﹣x﹣156=0解得x1=13,x2=﹣12,(舍去).答参加这次会议的有13人,故答案为13.点评本题主要考查了一元二次方程的应用,计算握手次数时,每两个人之间产生一次握手现象,故共握手次数为x(x﹣1),此题难度不大. 13.(3分)(xx•襄阳)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位m)与滑行时间x(单位s)之间的函数关系式是y=60x﹣
1.5x2,该型号飞机着陆后滑行 600 m才能停下来.考点二次函数的应用.分析根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程,即是求函数的最大值.解答解∵a=﹣
1.5<0,∴函数有最大值.∴y最大值===600,即飞机着陆后滑行600米才能停止.故答案为600.点评此题主要考查了二次函数的应用,运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键. 14.(3分)(xx•兰州)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是
2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树
0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为
0.5 米.考点二次函数的应用.专题压轴题.分析根据题意,运用待定系数法,建立适当的函数解析式,代入求值即可解答.解答解以左边树与地面交点为原点,地面水平线为x轴,左边树为y轴建立平面直角坐标系,由题意可得A(0,
2.5),B(2,
2.5),C(
0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点分别代入得出c=
2.5同时可得4a+2b+c=
2.5,
0.25a+
0.5b+c=1解之得a=2,b=﹣4,c=
2.5.∴y=2x2﹣4x+
2.5=2(x﹣1)2+
0.5.∵2>0∴当x=1时,y=
0.5米.∴故答案为
0.5米.点评本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题. 15.(3分)(xx•济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣4,则= 4 .考点解一元二次方程-直接开平方法.专题计算题.分析利用直接开平方法得到x=±,得到方程的两个根互为相反数,所以m+1+2m﹣4=0,解得m=1,则方程的两个根分别是2与﹣2,则有=2,然后两边平方得到=4.解答解∵x2=(ab>0),∴x=±,∴方程的两个根互为相反数,∴m+1+2m﹣4=0,解得m=1,∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与﹣2,∴4a=b∴=4.故答案为4.点评本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±p;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±p. 16.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论
①ac<0;
②当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
④当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.其中正确的结论是
①③④ .考点二次函数的性质.分析利用待定系数法求出二次函数解析式为y=﹣x2+3x+3,然后判断出
①正确,
②错误,再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定
③④正确.解答解∵x=﹣1时y=﹣1,x=0时,y=3,x=1时,y=5,∴,解得,∴y=﹣x2+3x+3,∴ac=﹣1×3=﹣3<0,故
①正确;对称轴为直线x=﹣=,所以,当x>时,y的值随x值的增大而减小,故
②错误;方程为﹣x2+2x+3=0,整理得,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,所以,3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,正确,故
③正确;﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0正确,故
④正确;综上所述,结论正确的是
①③④.故答案为
①③④.点评本题考查了二次函数的性质,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的增减性,二次函数与不等式,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.
三、解答题(共72分)17.(8分)
(1)解方程3x(x﹣2)=4﹣2x;
(2)已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图象过点(0,﹣3),求此函数关系式.考点待定系数法求二次函数解析式;解一元二次方程-因式分解法.分析
(1)把等号右边因式分解,再移项,再提取公因式,得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
(2)已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图象过点(0,﹣3),求此函数关系式.解答解
(1)3x(x﹣2)=4﹣2x;3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0(3x+2)(x﹣2)=0,3x+2=0或x﹣2=0,解得x1=﹣,x2=2.
(2)由二次函数当x=1时,有最大值是5,得到顶点坐标为(1,5),设二次函数解析式为y=a(x﹣1)2+5(a≠0),将x=0,y=﹣3代入得﹣3=a+5,解得a=﹣8,则二次函数解析式为y=﹣8(x﹣1)2+5=﹣8x2+16x﹣3.点评此题考查了因式分解法解一元二次方程,待定系数法求二次函数解析式,待定系数法是数学中重要的思想方法,学生做题时注意灵活运用. 18.(7分)(xx•新疆)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?考点一元二次方程的应用.专题应用题.分析设AB的长度为x,则BC的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.解答解设AB的长度为x,则BC的长度为(100﹣4x)米.根据题意得(100﹣4x)x=400,解得x1=20,x2=5.则100﹣4x=20或100﹣4x=80.∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20,BC=20.答羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.点评本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 19.(8分)在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后,画出直线y=x﹣1和抛物线y=x2﹣3x+2的图象根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)抛物线与x轴的交点坐标为 (1,0),(3,2) ,不等式x2﹣3x+2>x﹣1的解集为 x<1或x>3 .考点二次函数与不等式(组);抛物线与x轴的交点.分析根据一次函数与二次函数图象的画法分别作出即可,再根据图象写出交点坐标,根据图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可.解答解如图,抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,2),故不等式x2﹣3x+2>x﹣1的解集为x<1或x>3.故答案为(1,0),(3,2);x<1或x>3.点评本题考查了二次函数与不等式,主要利用了二次函数图象与一次函数图象的作法,此类题目,利用数形结合的思想求解更简便. 20.(8分)把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q.
(1)求顶点P的坐标;
(2)写出平移过程;
(3)求图中阴影部分的面积.考点二次函数图象与几何变换.专题计算题.分析
(3)图中阴影部分的面积=S△OPQ=×3×9=.
(1)先利用交点式确定平移后的抛物线解析式,然后配成顶点式得到P点坐标;
(2)利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程;
(3)根据平移得到图中阴影部分的面积=S△OPQ,然后根据三角形面积公式计算.解答解
(1)平移的抛物线解析式为y=(x+6)x=x2+3x=(x+3)2﹣,所以顶点P的坐标为(﹣3,﹣);
(2)把抛物线y=x2先向左平移3个单位,再向下平移个单位即可得到抛物线y=(x+3)2﹣;
(3)图中阴影部分的面积=S△OPQ=×3×9=.点评本题考查了二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 21.(9分)已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一个根为2
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证方程x2+px+q=0有两个不等的实数根;
(3)若方程x2+px+q+1=0有两个相等的实数根,求方程x2+px+q=0两根.考点根的判别式;一元二次方程的解.分析
(1)根据方程的解满足方程,把x=2代入已知方程,可得q关于p的关系式;
(2)根据方程有两个不等实数根,可得判别式大于零,根据解不等式,可得答案;
(3)根据方程有两个相等的实数根,可得判别式等于零,根据解方程组,可得p、q的值,根据因式分解法,可得方程的解.解答解
(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2,∴4+2p+q+1=0,∴q=﹣2p﹣5;
(2)∵x2+px+q=0,∴△=p2﹣4q=p2﹣4(﹣2p﹣5)=(p+4)2+4>0,∴方程x2+px+q=0有两个不等的实数根;
(3)x2+px+q+1=0有两个相等的实数根,∴△=p2﹣4(q+1)=0,由
(1)可知q=﹣2p﹣5,联立得方程组,解得,把代入x2+px+q=0,得x2﹣4x+3=0,因式分解,得(x﹣1)(x﹣3)=0,解得x1=1,x2=3.点评本题考查了根的判别式,
(1)方程的解满足方程,
(2)利用了根的判别式,
(3)解方程组,因式分解解方程. 22.(10分)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数y=﹣10x+1000,设公司获得的总利润(总利润=总销售额﹣总成本)为P元.
(1)求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若总利润为5250元时,销售单价是多少?
(3)根据题意判断当x取何值时,P的值最大?最大值是多少?考点二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题销售问题.分析
(1)根据总利润=总销售额﹣总成本就可以表示出P与x之间的函数关系式;
(2)把P=5250代入
(1)的解析式就可以求出结论;
(3)将
(1)的解析式化为顶点式就可以求出结论;解答解
(1)由题意,得P=y(x﹣50)=(﹣10x+1000)(x﹣50),P=﹣10x2+1500x﹣50000(50≤x≤70);答P与x之间的函数关系式为P=﹣10x2+1500x﹣50000,自变量x的取值范围为50≤x≤70;
(2)当P=5250时,5250=﹣10x2+1500x﹣50000,解得x1=65,x2=85,∵50≤x≤70,∴x=65.答销售单价为65元;
(3)∵P=﹣10x2+1500x﹣50000,∴P=﹣10(x﹣75)2+6250.∴x=75时,y最大=6250.∵50≤x≤70,∴在对称轴的左侧P随x的增大而增大,∴x=70时,P最大=6000元.答当x=70时,P的值最大,最大值是6000元.点评本题考查了销售问题的数量关系的运用,二次函数的解析式的运用,二次函数的图象性质的运用,二次函数的顶点式的运用,解答时求出函数的关系式是关键. 23.(10分)问题背景设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根分别是x1,x2则x1+x2=﹣,x1x2=
(1)若x1x2=21时,求的值类比探究
(2)若x1x2=11时,则= 4
(3)若x1x2=31时,则=
(4)若x1x2=m1时,则= (用m的式子表示)拓展延伸
(5)若x1x2=m n时,则= .考点根与系数的关系.专题计算题.分析
(1)设x1=2t,x2=t,根据根与系数的关系得到2t+t=﹣,2t•t=,消去t得到2(﹣)2=,然后利用比例的性质即可得到=;
(2)、
(3)、
(4)、
(5)用同样的方法进行计算.解答解
(1)设x1=2t,x2=t,则2t+t=﹣,2t•t=,所以t=﹣,2t2=,所以2(﹣)2=,所以=;
(2)设x1=t,x2=t,则t+t=﹣,t•t=,所以t=﹣,t2=,所以(﹣)2=,所以=4;
(3)设x1=3t,x2=t,则3t+t=﹣,3t•t=,所以t=﹣,3t2=,所以3(﹣)2=,所以=;
(4)设x1=mt,x2=t,则mt+t=﹣,mt•t=,所以t=﹣,mt2=,所以m(﹣)2=,所以=;
(5)设x1=mt,x2=nt,则mt+nt=﹣,mt•nt=,所以t=﹣,mnt2=,所以mn(﹣)2=,所以=.故答案为4,;;.点评本题考查了根与系数的关系若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=. 24.(12分)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)若点E在x轴上,点F在抛物线上.是否存在以C,D,E,F为顶点且以CD为一边的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.考点二次函数综合题.分析
(1)将点A、C坐标代入求出函数解析式;
(2)先求出直线AB的函数解析式,然后设点P坐标为(a,b),并求出对应的点Q的坐标,然后求出线段PQ的最大值;
(3)本题应分情况讨论
①将CD平移,令C点落在x轴(即E点)、D点落在抛物线(即F点)上,可根据平行四边形的性质,得出F点纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标;
②过C作x轴的平行线,与抛物线的交点符合F点的要求,此时F、C的纵坐标相同,代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标.解答解
(1)∵抛物线过点A(﹣1,0),C(0,2),∴,解得,∴函数解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)由
(1)得,y=﹣x2+x+2,令y=﹣x2+x+2=0,解得x=﹣1或x=4,即点B(4,0),设直线AB解析式为y=kx+b,则有,解得,∴y=﹣x+2,设点P横坐标为a,则点P纵坐标为=﹣a+2,∵PQ∥y轴,∴点Q的横坐标为a,纵坐标为﹣a2+a+2,PQ=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a=﹣(a﹣2)2+2,∵﹣<0,开口向下,有最大值,∴当a=2时,PQ有最大值2;
(3)如图所示,
①平移直线CD交x轴于点E,交x轴下方的抛物线于点F,当CD=E1F1时,四边形CDEF为平行四边形,∵C(0,2)∴设F(x,﹣2),代入解析式得﹣x2+x+2=﹣2,解得x=,此时存在点F1(,﹣2),F2(,﹣2);
②过点C作CF3∥x轴交抛物线于点F3,过点F3作F3E3∥CD交x轴于点E3,此时四边形CDE3F3为平行四边形,此时F3纵坐标为2,将纵坐标代入函数解析式得﹣x2+x+2=2,解得x=0或x=3,此时存在点F3(3,2).综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是F1(,﹣2),F2(,﹣2),F3(3,2).点评此题考查了二次函数综合题,涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、二次函数的应用等知识,综合性强,难度较大,对学生综合运用知识的能力要求较高.。