还剩23页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)I
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题只有一个正确选项)1.x2﹣3x+4=0的常数项是( )A.1B.2C.3D.42.方程2x2﹣4=0的解是( )A.x=2B.x=﹣2C.x=±2D.x=3.关于x的一元二次方程x2﹣ax=5的一个根是﹣1,则a的值是(( )A.﹣1B.1C.4D.﹣44.已知平行四边形ABCD,对角线交于点O,下列条件中不一定能确定为矩形的是( )A.∠ABC=90°B.OA=OBC.AB=BCD.AC=BD5.如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,AB=3,AD=,则OB=( )A.4B.3C.2D.16.如图,延长正方形ABCD的边BC至点E,使得CE=BC,连接AC,DE,AE与CD交于点0,则下列结论中一定不成立的是( )A.AC∥DEB.△OCE旋转180°会与△ODA完全重合C.若AB=1,则OA=D.∠AEB=30°7.在菱形ABCD中,对角线交于点O,若∠ABC=48°,那么∠ACD的度数是( )A.132°B.66°C.60°D.48°8.如图,点A是菱形ABCD的对角线BE的延长线上一点,则图中的全等三角形有( )对.A.2B.3C.4D.59.根据下表提供的信息,下列四个数中最接近方程x2﹣3x﹣5=0的解的是( )x23456x2﹣3x﹣5﹣7﹣5﹣1513A.0B.
3.5C.
3.8D.
4.510.如图,延长正方形ABCD的边至点E,动点P从点A出发,沿拆线A﹣B﹣C﹣D匀速运动,则△PAE的面积S与运动时间t之间的大致图象是( )A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.方程6+3x=9﹣(x﹣2)2的根的判别式的值是 .12.观察一组方程
①﹣x2+x+2=0;
②﹣x2+2x+3=0;
③﹣x2+3x+4=0…,根据规律直接写出第n个方程的解 .13.如图,在▱ABCD中,点E在边CD上,以AE为折痕,将△ADE向下翻折,点D正好落在沿AB上的点F.若四边形ADEF的周长为8cm,AB=3cm,则四边形BCEF的周长是 .14.在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1﹣,),以AB为边作正方形ABCD,则该正方形的对角线交点坐标是 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解方程3(1﹣2x)=(2x﹣1)2.16.已知一元二次方程2x﹣x2﹣k=0的一根是﹣2,求它的另一个根与k值.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图在正方形网格中,在图
(1)中请以AB为边作一个菱形,在图
(2)中,请以AB为边作一个矩形.要求用无刻度直尺,且所作图形的顶点都在格点上.18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是矩形ABCD外一点,且∠EDC=∠OCD,∠ECD=∠ODC,请说明CE=OA.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读材料比较代数式x2﹣6x﹣9与﹣20的大小.把x2﹣6x﹣9配方得(x﹣3)2﹣18∵(x﹣3)2≥0∴(x﹣3)2﹣18≥﹣18∴x2﹣6x﹣9>﹣20请学习上述方法比较代数式﹣2x2﹣4x与的大小.20.如图,已知线段AB=10cm,点C在线段AB上,分别以AC、BC、AB为边向下作正方形.
(1)当阴影部分的面积为42cm2时,请求出AC的长;
(2)阴影部分的面积能否为60cm2?如果能,请求出AC的长;如果不能,请说明理由.
六、本题满分12分)21.如图,边长均为3的正方ABCD与正方形EFGH在平面直角坐标系中关于原点对称,点A(﹣1,0).
(1)求点B、F、G的坐标;
(2)请说明AB∥EF.
七、(本题满分12分)22.如图,AC的垂线BC与菱形ACEF的对角线AE的延长线交于点B,FE的延长线交BC于点D.
(1)若∠B=25°,∠DCE= °;
(2)当D为BC的中点时,
①求∠DCE的度数;
②连接CF、BF,判断△BCF的形状,并说明理由.
八、(本题满分14分)23.如图1,将三角形纸片ABC沿折痕AD折叠,使得点C落在AB边的点G上,展开纸片沿折痕EF再次折叠,使点A和点D重合;如图2,将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点D与点B重合;如图3,将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折,展开后,将矩形ABEF与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合.
(1)直接写图1中,四边形AEDF的形状 .
(2)猜想图2中四边形BEDF的形状,并说明理由.
(3)如图3中,
①若∠MFE=40°,求∠MNG的度数;
②若MP=MN=PQ,请直接写出矩形长AD与宽AB的数量关系. xx学年安徽省宿州市埇桥区闵贤中学九年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题只有一个正确选项)1.x2﹣3x+4=0的常数项是( )A.1B.2C.3D.4【考点】一元二次方程的一般形式.【专题】计算题.【分析】找出方程的常数项即可.【解答】解x2﹣3x+4=0的常数项是4,故选D【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 2.方程2x2﹣4=0的解是( )A.x=2B.x=﹣2C.x=±2D.x=【考点】解一元二次方程-直接开平方法.【分析】直接利用开平方法解方程得出即可.【解答】解2x2﹣4=02x2=4,则x2=2,解得x=±.故选D.【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程,正确开平方是解题关键. 3.关于x的一元二次方程x2﹣ax=5的一个根是﹣1,则a的值是(( )A.﹣1B.1C.4D.﹣4【考点】一元二次方程的解.【分析】由方程的解的定义,将x=﹣1代入方程,得到关于a的方程,解方程即可求得а的值.【解答】解∵关于x的一元二次方程x2﹣ax=5的一个根是﹣1,∴1+a=5,解得a=4.故选C.【点评】本题主要考查了方程的解的定义,关键是把求未知系数的问题转化为方程求解的问题. 4.已知平行四边形ABCD,对角线交于点O,下列条件中不一定能确定为矩形的是( )A.∠ABC=90°B.OA=OBC.AB=BCD.AC=BD【考点】矩形的判定.【分析】根据矩形的判定方法有一个角为直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形为矩形进行选择即可.【解答】解∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故A不正确;∵OA=OB,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故B,D不正确;∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形,故C正确.故选C.【点评】本题考查了矩形的判定,掌握矩形的判定方法有一个角为直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形为矩形是解题的关键. 5.如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,AB=3,AD=,则OB=( )A.4B.3C.2D.1【考点】矩形的性质.【分析】由矩形的性质可知CD=AB=3,由勾股定理可求得CA=4,由矩形的性质可知OB=,从而可求得OB的长.【解答】解∵ABCD为矩形,∴CD=AB=3,∠D=90°.在Rt△CAD中,由勾股定理得AC===4.∵O是AC的中点,∴OB==4×=2.故选C.【点评】本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用,掌握矩形的性质是解题的关键. 6.如图,延长正方形ABCD的边BC至点E,使得CE=BC,连接AC,DE,AE与CD交于点0,则下列结论中一定不成立的是( )A.AC∥DEB.△OCE旋转180°会与△ODA完全重合C.若AB=1,则OA=D.∠AEB=30°【考点】正方形的性质;旋转的性质.【分析】由正方形的性质和已知条件证出四边形ADEC是平行四边形,得出AC∥DE,OA=OE,OC=OD,A、B一定成立;若AB=1,由勾股定理求出AE,得出OA=AE=,得出C一定成立;由三角函数tan∠AEB==,得出∠AEB≠30°,D一定不成立;即可得出结论.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,AD∥BC,∠B=90°,∵CE=BC,∴CE=AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴AC∥DE,OA=OE,OC=OD,∴△OCE旋转180°会与△ODA重合,∴A、B一定成立;若AB=1,则BC=CE=AB=1,∴AE==,∴OA=AE=,∴C一定成立;∵tan∠AEB==,∴∠AEB≠30°,∴D一定不成立.故选D.【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识;熟练掌握正方形的性质,证明四边形是平行四边形是解决问题的关键. 7.在菱形ABCD中,对角线交于点O,若∠ABC=48°,那么∠ACD的度数是( )A.132°B.66°C.60°D.48°【考点】菱形的性质.【专题】计算题.【分析】根据菱形的对边平行和平行线的性质得∠BCD=180°﹣∠ABC=132°,然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角即可得到∠ACD的度数.【解答】解如图,∵四边形ABCD为菱形,∴AB∥CD,AC平分∠BCD,∴∠BCD=180°﹣∠ABC=180°﹣48°=132°,∴∠ACD=∠BCD=66°.故选B.【点评】本题考查了菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线. 8.如图,点A是菱形ABCD的对角线BE的延长线上一点,则图中的全等三角形有( )对.A.2B.3C.4D.5【考点】菱形的性质;全等三角形的判定.【分析】连结CD,如图,根据菱形的性质得BE垂直平分CD,则AC=AD,且BD=DE=CE=BC,然后根据“SSS”可判断△ACE≌△ADE,△ACB≌△ADB,△ECB≌△EDB.【解答】解连结CD,如图,∵四边形BDEC为菱形,∴BE垂直平分CD,BD=DE=CE=BC,∴AC=AD,∴△ACE≌△ADE(SSS),△ACB≌△ADB(SSS),△ECB≌△EDB(SSS).故选B.【点评】本题考查了菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.也考查了全等三角形的判定. 9.根据下表提供的信息,下列四个数中最接近方程x2﹣3x﹣5=0的解的是( )x23456x2﹣3x﹣5﹣7﹣5﹣1513A.0B.
3.5C.
3.8D.
4.5【考点】估算一元二次方程的近似解.【专题】计算题.【分析】根据表格找出代数式x2﹣3x﹣5由﹣1变为5时x的范围,即可做出判断.【解答】解当x=4时,x2﹣3x﹣5=﹣1;x=5时,x2﹣3x﹣5=5,则x2﹣3x﹣5=0的解范围为4<x<5,即最接近方程x2﹣3x﹣5=0的解的是
4.5,故选D.【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似值,弄清表格中的数据是解本题的关键. 10.如图,延长正方形ABCD的边至点E,动点P从点A出发,沿拆线A﹣B﹣C﹣D匀速运动,则△PAE的面积S与运动时间t之间的大致图象是( )A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】分别找点P在AB、BC、CD上移动时,△PAE的面积S与运动时间t之间关系即可解答.【解答】解当点P由A向B移动时,△AEP的面积=,△AEP的面积随时间的增大而增大;当点P由B向C运动时,△AEP的面积=为定值;当点P由C向D运动时,△AEP的面积=,△AEP的面积随时间的增大而减小.故选A.【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象,分类讨论是解题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.方程6+3x=9﹣(x﹣2)2的根的判别式的值是 ﹣3 .【考点】根的判别式.【分析】首先把方程6+3x=9﹣(x﹣2)2化成一般形式,然后找出a、b和c的值,进而求出根的判别式的值.【解答】解∵6+3x=9﹣(x﹣2)2,∴x2﹣x+1=0,∵a=1,b=﹣1,c=1,∴△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3,故答案为﹣3.【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是熟记△=b2﹣4ac,此题难度不大. 12.观察一组方程
①﹣x2+x+2=0;
②﹣x2+2x+3=0;
③﹣x2+3x+4=0…,根据规律直接写出第n个方程的解 x1=﹣1,x2=n+1 .【考点】一元二次方程的解.【专题】规律型.【分析】根据所给的一元二次方程,二次项系数都为﹣1,一次项系数等于方程的序号数,常数项为比序号数大的相反数,则第n个方程为﹣x2+nx+(n+1)=0,然后利用因式分解法求解.【解答】解第n个方程是﹣x2+nx+(n+1)=0,(x+1)[x﹣(n+1)]=0,解得x1=﹣1,x2=n+1.故第n个方程的解x1=﹣1,x2=n+1.故答案为x1=﹣1,x2=n+1.【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义,能够找出各项系数的规律是解题的关键. 13.如图,在▱ABCD中,点E在边CD上,以AE为折痕,将△ADE向下翻折,点D正好落在沿AB上的点F.若四边形ADEF的周长为8cm,AB=3cm,则四边形BCEF的周长是 6cm .【考点】翻折变换(折叠问题);平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质和翻折变换的性质证明四边形ADEF是菱形,根据平行四边形的周长公式计算即可.【解答】解∵DC∥AB,∴∠DEA=∠EAF,又∵∠DAE=∠EAF,∴∠DEA=∠DAE,∴DA=DE,同理,FA=FE,又ED=EF,∴AD=DE=EF=FA,∴四边形ADEF是菱形,又四边形ADEF的周长为8cm,∴DE=EF=2cm,∵AB=3cm,∴EC=FB=1cm,∴四边形BCEF的周长=2×(1+2)=6cm.故答案为6cm.【点评】本题考查的是翻折变换的性质,掌握折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键. 14.在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1﹣,),以AB为边作正方形ABCD,则该正方形的对角线交点坐标是 (1,)或(1﹣,0) .【考点】正方形的性质;坐标与图形性质.【分析】分两种情况
①点D在第一象限时,作DE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,则∠AED=∠BFA=90°,求出AF=OA+OF=BF,得出△ABF是等腰直角三角形,再证出△ADE是等腰直角三角形,得出DE=AE=AD=,OE=OA+AE=1+,得出点D的坐标为(1+,),即可得出结果;
②点D在第三象限时,由
①得出正方形的对角线交点N的坐标为(1﹣,0),即可得出结果.【解答】解分两种情况
①点D在第一象限时,如图1所示作DE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,则∠AED=∠BFA=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,∵A(1,0),B(1﹣,),∴OA=1,BF=,OF=﹣1,∴AF=OA+OF=1+﹣1==BF,∴△ABF是等腰直角三角形,∴∠BAF=45°,∴AB=AF=2,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=2,∠BAD=90°,∴∠DAE=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AE=AD=,∴OE=OA+AE=1+,∴点D的坐标为(1+,),∴BD的中点M的坐标为(1,),即正方形的对角线交点坐标是(1,);
②点D在第三象限时,如图2所示由
①得正方形的对角线交点N的坐标是(1﹣,0);综上所述该正方形的对角线交点坐标是(1,)或(1﹣,0);故答案为(1,)或(1﹣,0).【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质;熟练掌握正方形的性质,由点的坐标得出等腰直角三角形是解决问题的关键,本题需要分类讨论.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.解方程3(1﹣2x)=(2x﹣1)2.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】变形后移项,分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【解答】解3(1﹣2x)=(2x﹣1)2,3(1﹣2x)﹣(1﹣2x)2=0,(1﹣2x)[3﹣(1﹣2x)]=0,1﹣2x=0,3﹣(1﹣2x)=0,x1=,x2=﹣1.【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键. 16.已知一元二次方程2x﹣x2﹣k=0的一根是﹣2,求它的另一个根与k值.【考点】一元二次方程的解.【分析】把x=﹣2代入方程求出k的值,再解方程求出另一个根,即可得出答案.【解答】解∵一元二次方程2x﹣x2﹣k=0有一个根为﹣2,∴代入得﹣4﹣4﹣k=0,解得k=﹣8,即方程为2x﹣x2+8=0,解得x1=﹣2,x2=4,故它的另一个根是4,k的值是﹣8.【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图在正方形网格中,在图
(1)中请以AB为边作一个菱形,在图
(2)中,请以AB为边作一个矩形.要求用无刻度直尺,且所作图形的顶点都在格点上.【考点】作图—应用与设计作图.【分析】根据勾股定理画出图形即可.【解答】解如图所示..【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图,熟知勾股定理及菱形的性质是解答此题的关键. 18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是矩形ABCD外一点,且∠EDC=∠OCD,∠ECD=∠ODC,请说明CE=OA.【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】先证明△ECD≌△ODC,从而得到CE=OD,然后由矩形的性质可知OD=OA,从而可证明CE=OA.【解答】解在△ECD和△ODC中,,∴△ECD≌△ODC.∴CE=OD.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OA.∴CE=OA.【点评】本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的性质和判定、掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读材料比较代数式x2﹣6x﹣9与﹣20的大小.把x2﹣6x﹣9配方得(x﹣3)2﹣18∵(x﹣3)2≥0∴(x﹣3)2﹣18≥﹣18∴x2﹣6x﹣9>﹣20请学习上述方法比较代数式﹣2x2﹣4x与的大小.【考点】配方法的应用;非负数的性质偶次方.【专题】阅读型.【分析】原式配方后,利用非负数的性质判断即可.【解答】解∵﹣2x2﹣4x=﹣2(x2+2x+1)+2=﹣2(x+1)2+2≤2,∴﹣2x2﹣4x<.【点评】此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 20.如图,已知线段AB=10cm,点C在线段AB上,分别以AC、BC、AB为边向下作正方形.
(1)当阴影部分的面积为42cm2时,请求出AC的长;
(2)阴影部分的面积能否为60cm2?如果能,请求出AC的长;如果不能,请说明理由.【考点】一元二次方程的应用.【专题】几何图形问题;几何动点问题.【分析】
(1)设AC的长为xcm,则BC的长为(10﹣x)cm,根据阴影部分的面积为42cm2列出方程102﹣x2﹣(10﹣x)2=42,解方程即可;
(2)假设阴影部分的面积能为60cm2,设AC的长为ycm,则BC的长为(10﹣y)cm,根据阴影部分的面积为60cm2列出方程102﹣y2﹣(10﹣y)2=60,解方程即可.【解答】解
(1)设AC的长为xcm,则BC的长为(10﹣x)cm,根据题意得102﹣x2﹣(10﹣x)2=42,解得x1=3,x2=7.答AC的长为3cm或7cm;
(2)假设阴影部分的面积能为60cm2,设AC的长为ycm,则BC的长为(10﹣y)cm,根据题意得102﹣y2﹣(10﹣y)2=60,整理得y2﹣10y+30=0,∵△=100﹣4×30=﹣20<0,∴方程无实数根,故阴影部分的面积不能为60cm2.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
六、本题满分12分)21.如图,边长均为3的正方ABCD与正方形EFGH在平面直角坐标系中关于原点对称,点A(﹣1,0).
(1)求点B、F、G的坐标;
(2)请说明AB∥EF.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;关于原点对称的点的坐标.【分析】
(1)由两个正方形关于原点对称,得出点F的坐标为(1,0),OF=OA=1,由勾股定理求出OB,即可得出点B的坐标;作GM⊥x轴于M,则∠GMF=90°,由AAS证明△GMF≌△FOE,得出对应边相等GM=OF=1,FM=OE=OB=2,求出OM,即可得出点G的坐标;
(2)由中心对称的性质得出OF=OA,OE=OB,得出OF OA=OE OB,即可得出结论.【解答】
(1)解∵边长均为3的正方ABCD与正方形EFGH关于原点对称,点A(﹣1,0),∴点F的坐标为(1,0),OF=OA=1,AB=3,∵∠AOB=90°,∴OB===2,∴点B的坐标为(0,﹣2);作GM⊥x轴于M,如图所示则∠GMF=90°,∴∠1+∠2=90°,∵四边形EFGH是正方形,∴GF=FE,∠EFG=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3,在△GMF和△FOE中,,∴△GMF≌△FOE(AAS),∴GM=OF=1,FM=OE=OB=2,∴OM=OF+FM=1+2,∴点G的坐标为(1+2,1);
(2)证明∵正方ABCD与正方形EFGH关于原点对称,∴OF=OA,OE=OB,∴OF OA=OE OB,∴AB∥EF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
七、(本题满分12分)22.如图,AC的垂线BC与菱形ACEF的对角线AE的延长线交于点B,FE的延长线交BC于点D.
(1)若∠B=25°,∠DCE= 40 °;
(2)当D为BC的中点时,
①求∠DCE的度数;
②连接CF、BF,判断△BCF的形状,并说明理由.【考点】菱形的性质;等边三角形的判定;三角形中位线定理.【专题】计算题.【分析】
(1)先利用互余计算出∠BAC=65°,再根据菱形的性质得CA=CE,所以∠CEA=∠CAE=65°,于是利用三角形内角和定理可得∠ACE=50°,然后利用互余可计算出∠DCE;
(2)
①先由菱形的性质得EF∥AC,则可判断点E为AB的中点,根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=AE=BE,则可判断△ACE为等边三角形,所以∠ACE=60°,然后利用互余可计算出∠DCE;
②由菱形的性质得AE垂直平分CF,FC平分∠ACE,则根据线段垂直平分线的性质由BF=BC,由角平分线定义得∠ECF=30°,于是可计算出∠BCF=∠BCE+∠ECF=60°,然后根据等边三角形的判定方法可判断△BCF为等边三角形.【解答】解
(1)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°﹣∠B=65°,∵四边形ACEF为菱形,∴CA=CE,∵∠CEA=∠CAE=65°,∴∠ACE=180°﹣65°﹣65°=50°,∴∠DCE=90°﹣∠ACE=40°;故答案为40;
(2)
①∵四边形ACEF为菱形,∴EF∥AC,而D为BC的中点,∴点E为AB的中点,∴CE=AE=BE,而CE=CA,∴△ACE为等边三角形,∴∠ACE=60°,∴∠DCE=90°﹣∠ACE=30°;
②△BCF为等边三角形.理由如下∵四边形ACEF为菱形,∴AE垂直平分CF,FC平分∠ACE,∴BF=BC,∠ECF=30°,∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=30°+30°=60°,∴△BCF为等边三角形.【点评】本题考查了菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.也考查了等边三角形的判定与性质.
八、(本题满分14分)23.如图1,将三角形纸片ABC沿折痕AD折叠,使得点C落在AB边的点G上,展开纸片沿折痕EF再次折叠,使点A和点D重合;如图2,将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点D与点B重合;如图3,将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折,展开后,将矩形ABEF与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合.
(1)直接写图1中,四边形AEDF的形状 菱形 .
(2)猜想图2中四边形BEDF的形状,并说明理由.
(3)如图3中,
①若∠MFE=40°,求∠MNG的度数;
②若MP=MN=PQ,请直接写出矩形长AD与宽AB的数量关系.【考点】四边形综合题;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;菱形的判定与性质;轴对称的性质.【分析】
(1)先根据两次折叠,得出△AEF为等腰三角形,再根据EF垂直平分AD,得出AE=DE,AF=DF,最后可得四边形AEDF的四边相等,由此可判定四边形AEDF是菱形;
(2)先根据折叠的性质得出DE=BE,DF=BF,再根据等角对等边得出DE=DF,最后根据“四条边相等的四边形为菱形”判定四边形BEDF是菱形;
(3)
①先根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EMF,再根据折叠求得∠NMF的度数,最后根据平行线的性质求得∠MNG的度数;
②先连接AF,根据菱形的性质以及等腰三角形的性质,判定Rt△MGF≌Rt△MEF,再根据∠MAG=∠MFG=∠MFE,求得∠EAF=30°,最后根据EF与AE的数量关系得到AB与AD的数量关系.【解答】解
(1)四边形AEDF是菱形.证明如图1,设AD与EF交于点G,由第一次折叠得,∠BAD=∠CAD,由第二次折叠得,AD被EF垂直平分,∴∠AGE=∠AGF=90°,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,即△AEF为等腰三角形,∵EF垂直平分AD,∴AE=DE,AF=DF,∴AE=DE=AF=DF,∴四边形AEDF是菱形.故答案为菱形;
(2)四边形BEDF是菱形,理由如图2,连接BD,由折叠的性质可知,BD被EF垂直平分,∴DE=BE,DF=BF.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF,由折叠得,∠BFE=∠DFE∴∠DEF=∠DFE,∴DE=DF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形BEDF是菱形;
(3)
①如图3,若∠MFE=40°,由折叠可知∠EMF=90°﹣40°=50°,∴∠NMF=(180°﹣50°)×=65°,∵MF∥NG,∴∠MNG=180°﹣∠NMF=115°;
②矩形长AD与宽AB的数量关系为AD=2AB理由连接AF,则菱形ANFM中,MG⊥FG,∠MAG=∠MFG,MG=MN,由折叠可得,MF=PF,EF⊥MP∴ME=MP∴MG=ME在Rt△MGF和Rt△MEF中∴Rt△MGF≌Rt△MEF(HL)∴∠MFG=∠MFE∴∠MAG=∠MFG=∠MFE又∵∠MAG+∠MFG+∠MFE=90°∴∠MAG=∠MFG=∠MFE=30°∴直角三角形AEF中,=,即=∵EF=AB∴=即矩形长AD与宽AB的数量关系为AD=2AB【点评】本题以折叠为背景考查了轴对称的性质以及菱形的判断与性质,解决问题的关键是掌握菱形的判定方法.解题时注意折叠的问题的本质是轴对称性质的运用,解题时要抓住“对应角相等,对应线段相等”这些等量关系. 。