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2019-2020年九年级(下)期中数学试卷(解析版)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分)1.下列方程是一元二次方程的是( )A.x2﹣1=yB.(x+2)(x+1)=x2C.6x2=0D.x2=2.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( )A.和B.和C.和D.和3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,若∠AOB=60°,AB=3,则对角线BD的长是( )A.6B.3C.5D.44.用配方法解方程x2+2x﹣5=0时,原方程应变形为( )A.(x+1)2=6B.(x﹣1)2=6C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=95.下列计算错误的是( )A.B.C.D.6.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,则下列结论正确的是( )A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形B.当AB=AD,CB=CD时,四边形ABCD是菱形C.当AB=AD=BC时,四边形ABCD是菱形D.当AC=BD,AD=AB时,四边形ABCD是正方形7.已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x﹣2)(x﹣4)=0的根,则这个三角形的周长为( )A.13B.11C.13或11D.158.若1<x<2,则化简|x﹣3|﹣的结果为( )A.2x﹣4B.﹣2C.4﹣2xD.29.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且它们的长度分别为6cm和8cm,过点O的直线分别交AB、DC于点E、F,则图中阴影部分的面积和为( )A.48cm2B.24cm2C.12cm2D.10cm210.一元二次方程5x2﹣7x+5=0的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根11.已知a+b=﹣1,ab=﹣1,则a2+ab+b2的值是( )A.2﹣B.3﹣C.2﹣2D.4﹣212.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且AE=BF,CE和DF相交于点O,有下列结论
①CE=DF;
②CE⊥DF;
③CO=OE;
④S△C0D=S四边形0EBF.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分)13.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为﹣2和6,则x2+bx+c的因式分解的结果是 .14.如图,四边形ABCD的对角线相互平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 .15.化简(﹣2)xx•()xx的结果为 .16.关于x的一元二次方程(a+1)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是 .17.若a为实数,则代数式的最小值为 .18.将xx个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,A3…分别是正方形对角线的交点,则这个xx个正方形重叠部分的面积和为 cm2.
三、解答题(第
19、20题各8分,第
21、22题各9分,第23题10分,第24题11分,满分55分)19.解方程
(1)x2+2x﹣9999=0(用配方法求解);
(2)3x2﹣6x﹣1=0(用公式法求解)20.计算(7+4)(7﹣4)﹣(﹣1)2.21.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD,交BC于E,若∠CAE=15°,求∠OBE的度数.22.已知a=,b=,求+的值.23.已知关于x的一元二次方程kx2﹣(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2),设y=x2﹣x1﹣2,判断y是否为变量k的函数?如果是,请写出函数解析式;若不是,请说明理由.24.在综合实践活动课中,王老师出了这样一道题如图1,在矩形ABCD中,M是BC的中点,过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F.求证四边形OEMF是菱形.做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展,提出新的问题让其它同学解答.
(1)小明同学说“我把条件中的‘矩形ABCD’改为‘菱形ABCD’,如图2所示,发现四边形OEMF是矩形.”请给予证明;
(2)小芳同学说“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’,发现点F落在AC的延长线上,如图3所示,此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系.”请你写出这个结论,并说明理由. xx学年山东省烟台市招远市九年级(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分)1.下列方程是一元二次方程的是( )A.x2﹣1=yB.(x+2)(x+1)=x2C.6x2=0D.x2=【考点】一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的定义求解,一元二次方程必须满足两个条件未知数的最高次数是2;二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.【解答】解A、x2﹣1=y是二元二次方程,故A错误;B、(x+2)(x+1)=x2是一元一次方程,故B错误;C、6x2=0是一元二次方程,故C正确;D、x2=是分式方程,故D错误;故选C. 2.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( )A.和B.和C.和D.和【考点】同类二次根式.【分析】将四个选项逐一化简,找到被开方数相同的二次根式即可.【解答】解A、=2,与不是同类二次根式;B、化简得和是同类二次根式;C、化简得和,不是同类二次根式;D、被开方数不同,不是同类二次根式.故选B. 3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,若∠AOB=60°,AB=3,则对角线BD的长是( )A.6B.3C.5D.4【考点】矩形的性质;含30度角的直角三角形.【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB,然后判断出△AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质可得OB=AB,然后根据矩形的对角线互相平分可得BD=2OB.【解答】解在矩形ABCD中,OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB=3,∴BD=2OB=2×3=6.故选A. 4.用配方法解方程x2+2x﹣5=0时,原方程应变形为( )A.(x+1)2=6B.(x﹣1)2=6C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=9【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】把常数项﹣5移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方.【解答】解由原方程,得x2+2x=5,x2+2x+1=5+1,(x+1)2=6.故选A. 5.下列计算错误的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的加减法.【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断.【解答】解A、==7,正确;B、==2,正确;C、+=3+5=8,正确;D、,故错误.故选D. 6.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,则下列结论正确的是( )A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形B.当AB=AD,CB=CD时,四边形ABCD是菱形C.当AB=AD=BC时,四边形ABCD是菱形D.当AC=BD,AD=AB时,四边形ABCD是正方形【考点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.【分析】根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可.【解答】解A、对角线AC与BD互相垂直,AC=BD时,无法得出四边形ABCD是矩形,故此选项错误;B、当AB=AD,CB=CD时,无法得到,四边形ABCD是菱形,故此选项错误;C、当两条对角线AC与BD互相垂直,AB=AD=BC时,∴BO=DO,AO=CO,∴四边形ABCD是平行四边形,∵两条对角线AC与BD互相垂直,∴平行四边形ABCD是菱形,故此选项正确;D、当AC=BD,AD=AB时,无法得到四边形ABCD是正方形,故此选项错误;故选C. 7.已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x﹣2)(x﹣4)=0的根,则这个三角形的周长为( )A.13B.11C.13或11D.15【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系.【分析】利用因式分解法解方程(x﹣4)(x﹣2)=0得到x1=4,x2=2,根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4,然后计算三角形的周长.【解答】解(x﹣4)(x﹣2)=0,x﹣4=0或x﹣2=0,所以x1=4,x2=2,因为2+3<6,所以x=2舍去,所以三角形第三边的长为4,所以三角形的周长=3+6+4=13,故选A. 8.若1<x<2,则化简|x﹣3|﹣的结果为( )A.2x﹣4B.﹣2C.4﹣2xD.2【考点】二次根式的性质与化简.【分析】直接利用x的取值范围,进而化简绝对值和二次根式即可.【解答】解∵1<x<2,∴|x﹣3|﹣=3﹣x﹣(x﹣1)=4﹣2x.故选C. 9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且它们的长度分别为6cm和8cm,过点O的直线分别交AB、DC于点E、F,则图中阴影部分的面积和为( )A.48cm2B.24cm2C.12cm2D.10cm2【考点】菱形的性质.【分析】由菱形ABCD,可得OA=OC,AB∥CD,易证△AOE≌△COF,△ABD≌△CDB,又因为菱形的面积为AC•BD,所以可求得图中阴影部分的面积和为S菱形ABCD,问题得解.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠DCB,∴∠AEO=CFO,∠OAE=∠OCF,∴△AOE≌△COF,△ABD≌△CDB,∵S菱形ABCD=AC•BD=×8×6=24cm2,∴图中阴影部分的面积和为S菱形ABCD=×24=12cm2.故选C. 10.一元二次方程5x2﹣7x+5=0的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根【考点】根的判别式.【分析】代入数据求出b2﹣4ac<0,即可得知该方程没有实数根.【解答】解∵△=b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×5×5=﹣51<0,∴该方程没有实数根.故选B. 11.已知a+b=﹣1,ab=﹣1,则a2+ab+b2的值是( )A.2﹣B.3﹣C.2﹣2D.4﹣2【考点】完全平方公式;二次根式的化简求值.【分析】将二次三项式a2+ab+b2变形为(a+b)2﹣ab的形式后代入已知条件即可得到答案.【解答】解∵a+b=﹣1,ab=﹣1,∴a2+ab+b2=(a+b)2﹣ab=(﹣1)2﹣(﹣1)=2﹣2=4﹣2,故选D. 12.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且AE=BF,CE和DF相交于点O,有下列结论
①CE=DF;
②CE⊥DF;
③CO=OE;
④S△C0D=S四边形0EBF.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】根据四边形ABCD是正方形及AE=BF,可证出△BEC≌△CFD,则得到
①CE=DF,以及△BEC和△CFD的面积相等,得到;
④S△COD=S四边形OEBF;可以证出∠OFC+∠FCO=90°,则
②CE⊥DF一定成立.错误的结论是
③CO=OE.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∵AE=BF,∴BE=CF,在△BEC与△CFD中,,∴△BEC≌△CFD,∴CE=DF(故
①正确),S△BEC=S△CFD,∠BEC=∠DFC,∠BCE=∠FDC,∵S△COD=S△CFD﹣S△OFC,S四边形OEBF=S△BCE﹣S△OFC,∴S△COD=S四边形OEBF(故
④正确),∵∠BEC+∠ECB=∠DFC+∠ECB=90°∴∠DFC+∠ECB=90°∴CE⊥DF一定成立(故
②正确).假设CO=OE,∵CE⊥DF(已证),∴CF=EF(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),∵在Rt△BEF中,EF>BE,∴EF>CF,这与正方形的边长EF=CFC相矛盾,∴,假设不成立,CO≠OE(故
③错误);故选B
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分)13.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为﹣2和6,则x2+bx+c的因式分解的结果是 (x﹣6)(x+2) .【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为﹣2和6,则关于x的一元二次方程为(x+6)(x﹣2)=0,故可以得出二次三项式的分解因式的结果.【解答】解∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为﹣2,6,利用因式分解法可得,关于x的一元二次方程为(x+6)(x﹣2)=0,则x2+bx+c分解因式的结果为(x+6)(x﹣2).故答案为(x﹣6)(x+2). 14.如图,四边形ABCD的对角线相互平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 AC=BD(答案不唯一) .【考点】矩形的判定.【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形,再由对角线相等,即可得出四边形ABCD是矩形.【解答】解添加条件AC=BD,四边形ABCD是矩形;理由如下∵四边形ABCD的对角线相互平分,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形;故答案为AC=BD(答案不唯一). 15.化简(﹣2)xx•()xx的结果为 ﹣﹣2 .【考点】二次根式的混合运算.【分析】根据同底数幂的乘法法则和积的乘方法则把原式变形,根据平方差公式计算即可.【解答】解原式=(﹣2)xx•()xx•(+2)=[(﹣2)•()]xx•(+2)=﹣1ו(+2)=﹣﹣2.故答案为﹣﹣2. 16.关于x的一元二次方程(a+1)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是 a≥﹣5且a≠﹣1 .【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式可得△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4(a+1)×(﹣1)≥0,a+1≠0,求出a的取值范围即可.【解答】解∵关于x的一元二次方程(a+1)x2﹣4x﹣1=0有实数根,∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4(a+1)×(﹣1)≥0,a+1≠0,解得a≥﹣5且a≠﹣1.故答案为a≥﹣5且a≠﹣1. 17.若a为实数,则代数式的最小值为 3 .【考点】配方法的应用;非负数的性质偶次方;二次根式的性质与化简.【分析】把被开方数用配方法整理,根据非负数的意义求二次根式的最小值.【解答】解∵==≥3,∴代数式的最小值为3,故答案为3. 18.将xx个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,A3…分别是正方形对角线的交点,则这个xx个正方形重叠部分的面积和为 cm2.【考点】正方形的性质;规律型图形的变化类.【分析】根据题意可得,阴影部分的面积是正方形的面积的,已知两个正方形可得到一个阴影部分,则xx个这样的正方形重叠部分即为xx﹣1阴影部分的和,问题得解.【解答】解由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的,即是cm2.5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为×4cm2,n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为×(n﹣1)=cm2.所以这个xx个正方形重叠部分的面积和=×=cm2,故答案为.
三、解答题(第
19、20题各8分,第
21、22题各9分,第23题10分,第24题11分,满分55分)19.解方程
(1)x2+2x﹣9999=0(用配方法求解);
(2)3x2﹣6x﹣1=0(用公式法求解)【考点】解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-配方法.【分析】
(1)方程利用配方法求出解即可;
(2)方程利用公式法求出解即可.【解答】解
(1)方程整理得x2+2x=9999,配方得x2+2x+1=10000,即(x+1)2=10000,开方得x+1=100或x+1=﹣100,解得x1=99,x2=﹣101;
(2)这里a=3,b=﹣6,c=﹣1,∵△=36+12=48,∴x==,解得x1=,x2=. 20.计算(7+4)(7﹣4)﹣(﹣1)2.【考点】二次根式的混合运算.【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行计算.【解答】解原式=49﹣48﹣(5﹣2+1)=1﹣6+2=2﹣5. 21.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD,交BC于E,若∠CAE=15°,求∠OBE的度数.【考点】矩形的性质.【分析】先根据AE平分∠BAD交BC于E可得∠AEB=45°,再根据三角形的外角性质求出∠ACB=30°,然后判断出△AOB是等边三角形,从而可以得出△BOE是等腰三角形,然后根据三角形的内角和是180°进行求解即可.【解答】解∵AE平分∠BAD交BC于E,∴∠BAE=45°,AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠BAO=60°,又∵OA=OB,∴△BOA是等边三角形,∴∠ABO=60°,∴∠OBE=30°. 22.已知a=,b=,求+的值.【考点】二次根式的化简求值.【分析】先求出a+b,ab,然后通分,恒等变形,利用整体代入的思想解决问题.【解答】解∵a=,b=,∴a+b=2,ab=5﹣2=3,∴原式====. 23.已知关于x的一元二次方程kx2﹣(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2),设y=x2﹣x1﹣2,判断y是否为变量k的函数?如果是,请写出函数解析式;若不是,请说明理由.【考点】根与系数的关系;根的判别式.【分析】
(1)根据一元二次方程的定义得到k≠0,再计算出判别式得到△=(2k﹣1)2,根据k为整数和非负数的性质得到△>0,则根据判别式的意义即可得到结论;
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=,x1•x2=,则根据完全平方公式变形得(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=﹣==(2﹣)2,由于k为整数,则2﹣>0,所以x2﹣x1=2﹣,则y=2﹣﹣2=﹣.【解答】
(1)证明根据题意得k≠0,∵△=(4k+1)2﹣4k(3k+3)=4k2﹣4k+1=(2k﹣1)2,而k为整数,∴2k﹣1≠0,∴(2k﹣1)2>0,即△>0,∴方程有两个不相等的实数根;
(2)解y是变量k的函数.∵x1+x2=,x1•x2=,∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=﹣==(2﹣)2,∵k为整数,∴2﹣>0,而x1<x2,∴x2﹣x1=2﹣,∴y=2﹣﹣2=﹣(k≠0的整数),∴y是变量k的函数. 24.在综合实践活动课中,王老师出了这样一道题如图1,在矩形ABCD中,M是BC的中点,过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F.求证四边形OEMF是菱形.做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展,提出新的问题让其它同学解答.
(1)小明同学说“我把条件中的‘矩形ABCD’改为‘菱形ABCD’,如图2所示,发现四边形OEMF是矩形.”请给予证明;
(2)小芳同学说“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’,发现点F落在AC的延长线上,如图3所示,此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系.”请你写出这个结论,并说明理由.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)首先证得四边形OEMF是平行四边形,然后利用菱形的对角线互相垂直证得∠EOF=90°,利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证得结论;
(2)根据四边形OEMF是平行四边形,得到OE=MF,根据四边形ABCD是矩形,得到OB=BD,OC=AD,且AC=BD,从而得到OB=OC,进一步得到BE=ME,从而证得结论OB=BE﹣OE=ME﹣MF.【解答】
(1)证明∵ME∥AC,MF∥BD,∴四边形OEMF是平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠EOF=90°,∴四边形OEMF是矩形.
(2)结论OB=ME﹣MF.理由如下∵ME∥AC,MF∥BD,∴四边形OEMF是平行四边形,∴OE=MF,又∵四边形ABCD是矩形,∴OB=BD,OC=AD,且AC=BD,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,由ME∥AC可知,∠OCB=∠EMB,∴BE=ME,∴OB=BE﹣OE=ME﹣MF. xx年8月29日。