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2019-2020年高二数学上
6.1不等式的性质
(二)优秀教案教学目的1理解同向不等式,异向不等式概念;2理解不等式的性质定理1—3及其证明;3理解证明不等式的逻辑推理方法.4通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点掌握不等式性质定理
1、
2、3及推论,注意每个定理的条件教学难点1理解定理
1、定理2的证明,即“a>bb<a和a>b,b>ca>c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论,即“a>b,c>da+c>b+d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时,就不能得出一般结论授课类型新授课课时安排1课时教具多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下,由学生利用已学过的有关知识,顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程
一、复习引入1.判断两个实数大小的充要条件是2.1如果甲的年龄大于乙的年龄,那么乙的年龄小于甲的年龄吗为什么2如果甲的个子比乙高,乙的个子比丙高,那么甲的个子比丙高吗为什么从而引出不等式的性质及其证明方法.
二、讲解新课1.同向不等式两个不等号方向相同的不等式,例如ab,cd,是同向不等式异向不等式两个不等号方向相反的不等式例如ab,cd,是异向不等式2.不等式的性质定理1如果ab,那么ba,如果ba,那么ab.对称性即abba;baab证明∵ab∴a-b0由正数的相反数是负数,得-a-b0即b-a0∴ba定理的后半部分略.点评可能个别学生认为定理l没有必要证明,那么问题若ab,则和谁大?根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础,本定理也称不等式的对称性.定理2如果ab,且bc,那么ac.传递性即ab,bcac证明∵ab,bc∴a-b0,b-c0根据两个正数的和仍是正数,得a-b+b-c0即a-c0∴ac根据定理l,定理2还可以表示为cb,baca点评这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形.定理3如果ab,那么a+cb+c.即aba+cb+c证明∵ab,∴a-b0,∴a+c-b+c0即a+cb+c点评1定理3的逆命题也成立;2利用定理3可以得出如果a+bc,那么ac-b,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论如果ab,且cd,那么a+cb+d.相加法则即ab,cda+cb+d.证法一a+cb+d证法二a+cb+d点评
(1)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
(2)两个同向不等式的两边分别相减时,不能作出一般的结论;
三、讲解范例例
1.判断下列各式是否正确?为什么?1判断下列命题的真假,并说明理由1如果a>b,那么a-c>b-c;2如果a>b,那么>
(3)如果acbc那么ab
(4)如果ac2bc2那么ab分析从不等式性质定理找依据,与性质定理相违的为假,与定理相符的为真答案1真因为推理符号定理32假由不等式的基本性质2,3初中可知,当c<0时,<即不等式两边同乘以一个数,必须明确这个数的正负3假4真例
2.π/4xyπ/2,求y-x,y+x的取值范围答案0y-xπ/4,π/2y=xπ例
3.若-14xy-6求yxy/x的取值范围答案36xy196,3/7y/x7/3例
4.已知ab,cd,求证a-cb-d.相减法则分析思路一证明“a-c>b-d”,实际是根据已知条件比较a-c与b-d的大小,所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据,直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号,最后达到证题目的证法一∵a>b,c<d∵a-b>0,d-c>0∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0两个正数的和仍为正数故a-c>b-d思路二我们已熟悉不等式的性质中的定理1~定理3及推论,所以运用不等式的性质,加以变形,最后达到证明目的证法二∵c<d∴-c>-d又∵a>b∴a+(-c)>b+(-d)∴a-c>b-d
四、课堂练习1回答下列问题(1如果a>b,c>d,能否断定a+c与b+d谁大谁小举例说明;2如果a>b,c>d,能否断定a-2c与b-2d谁大谁小举例说明答案1不能断定例如2>1,1<32+1<1+3;而2>1,-1<-082-1>1-08异向不等式作加法没定论2不能断定例如a>b,c=1>d=-1a-2c=a-2,b+2=b-2d,其大小不定a=8>1=b时a-2c=6>b+2=3而a=2>1=b时a-2c=0<b+2=32求证1如果a>b,c>d,那么a-d>b-c;2如果a>b,那么c-2a<c-2b证明12a>b-2a<-2bc-2a<c-2b4已和a>b>c>d>0,且,求证a+d>b+c证明∵∴∴(a-b)d=(c-d)b又∵a>b>c>d>0∴a-b>0,c-d>0,b>d>0且>1∴>1∴a-b>c-d即a+d>b+c评述此题中,不等式性质和比例定理联合使用,使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息,更有比例的信息,因此这道题既要重视性质的运用技巧,也要重视比例定理的应用技巧
五、小结本节课我们学习了不等式的性质定理1~定理3及其推论,理解不等式性质的反对称性a>bb<a=、传递性a>b,b>ca>c、可加性a>ba+c>b+c、加法法则(a>b,c>da+c>b+d),并记住这些性质的条件,尤其是字母的符号及不等式的方向,要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
六、课后作业1.如果,求不等式同时成立的条件.解2.已知,求证证∵∴又∵∴0∴∵且∴3.已知比较与的大小.解当时∵即∴∴当时∵即∴∴4.如果求证证∵∴∴∵∴∴
七、板书设计(略)
八、课后记。