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文本内容:
2019-2020年高二数学上
8.1椭圆及其标准方程优秀教案
一、教学目标
1.知识教学点使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
2.能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导,培养学生分析探索能力,增强运用坐标法解决几何问题的能力.
3.学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力.
二、教材分析1.重点椭圆的定义和椭圆的标准方程.解决办法用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义,最后加以强调;对椭圆的标准方程单独列出加以比较.2.难点椭圆的标准方程的推导.解决办法推导分4步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.3.疑点椭圆的定义中常数加以限制的原因.解决办法分三种情况说明动点的轨迹.
三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.
四、教学过程一椭圆概念的引入前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答问题1什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去探求新知识.提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.问题2圆的几何特征是什么?你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?一般学生能回答“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨迹命题如“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神.比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?这时教师示范引导学生绘图取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点如图2-13,当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.教师进一步追问“椭圆,在哪些地方见过?”有的同学说“立体几何中圆的直观图.”有的同学说“人造卫星运行轨道”等……认识椭圆(幻灯片)在此基础上,引导学生概括椭圆的定义平面内到两定点F
1、F2的距离之和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.学生开始只强调主要几何特征——到两定点F
1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调1将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件“在平面内”.2这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意若常数=|F1F2|,则是线段F1F2;若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件“此常数大于|F1F2|”.二椭圆标准方程的推导1.标准方程的推导由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分1建系设点;2点的集合;3代数方程;4化简方程等步骤.1建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量距离、直线斜率等的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F
1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图2-14.设|F1F2|=2cc>0,Mx,y为椭圆上任意一点,则有F1-1,0,F2c,0.2点的集合由定义不难得出椭圆集合为P={M||MF1|+|MF2|=2a}.3代数方程4化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示
①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问题3说明.整理后,再平方得a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2
②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义,下节课还要a>b>0.关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1-c,
0、F2c,0.这里c2=a2-b2.2.两种标准方程的比较引导学生归纳F1-c,
0、F2c,0,这里c2=a2-b2;F1-c,
0、F20,c,这里c2=a2+b2,只须将1方程的x、y互换即可得到.教师指出在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.不同点标准方程图形焦点坐标F1-c0F2c0F1-c0F2c0共同点定义a、b、c的关系ab0,b,c大小不确定焦点的位置的判定x²y²项中哪个分母大,焦点就在那一条轴上三例题与练习例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程1两个焦点的坐标分别是-4,
0、4,0,椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;2两个焦点的坐标分别是0,-
2、0,2,并且椭圆经过点解1因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为∵ 2a=10,2c=8,∴ a=5,c=4.∴ b2=a2-c2=52-42=9.所以所求椭圆的标准方程为2因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知,又c=2,∴ b2=a2-c2=10-4=6.所以所求椭圆的标准方程为例2 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.分析在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择适当的坐标系,常常需要画出草图.在图8-4中,由△ABC的周长等于16,|BC|=6可知,点A到B、C两点的距离的和是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图图8-4.解如图8-4,建立坐标系,使x轴经过点B、C,原点O与BC的中点重合.由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10,∴ c=3,a=5,b2=52-32=16.但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是注 求出曲线的方程后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件.练习
1、椭圆的a=_________b=__________c=____________.焦点坐标是练习
2、动点P到两个定点的距离之和为8则P点的轨迹为)A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定练习
3、椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是_______练习
4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上,a=4b=12练习
5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是()A、(0,+∞)B、(0,2)C、(1,+∞)D、(0,1)练习
6、方程表示焦点在X轴上的椭圆,则k的取值范围为.引申在平面直角坐标系中,已知ΔABC中B-30,C30且三边|AC||BC||AB|长依次成等差数列,求顶点A的轨迹方程四小结1.定义椭圆是平面内与两定点F
1、F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹.2.焦点F1-c,0,F2c,0.F10,-c,F20,c.
3.讨论了求椭圆标准方程的方法注意求出曲线的方程之后,要验证方程的曲线上的点是否都符合题意,如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件
4.求满足条件的点的轨迹方程时
(1)若不清楚轨迹类型用坐标法;
(2)若清楚轨迹类型,则建立适当的坐标系,设出其方程,再确定方程中的参数即可
五、布置作业方程表示__________________________.方程表示_________________________.
3、P96习题
8.
11、
3、
4、
5.
4、《轻巧夺冠》第64页能力测试oyxF2F1MF1F2Moyx。