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2019-2020年高二数学不等式证明二综合法xx
03211、综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法(也叫顺推证法或由因导果法)例
1、已知abc是不全相等的正数,求证ab2+c2+bc2+a2+ca2+b26abc分析不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以运用基本不等式a2+b2≥2ab;还可以这样思考不等式左边出现有三次因式a2bb2cc2aab2bc2ca2的“和”,右边有三正数abc的“积”,我们可以运用重要不等式a3+b3+c3≥3abc.证∵b2+c2≥2bca0∴ab2+c2≥2abc同理bc2+a2≥2abcca2+b2≥2abc∴ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2≥6abc当且仅当b=cc=aa=b时取等号,而abc是不全相等的正数∴三式不同时取等号,三式相加得ab2+c2+bc2+a2+ca2+b26abc本例证法可称为三合一法,当要证的不等式关于字母具有对称形式时,我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得,我们只要先把减了元的较简单的不等式证出,即可完成原不等式的证明例
2、abcR求证123证
1、法一两式相乘即得法二左边≥3+2+2+2=
92、∵两式相乘即得
3、由上题∴即例
3、已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证证明左-右=2(ab+bc-ac),∵a,b,c成等比数列,∴又∵a,b,c都是正数,所以≤,∴∴∴说明此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不等式的特点例
4、制造一个容积为V(定值)的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情况,求怎样选取底半径与高的比,使用料最省?分析根据1题中不等式左右的结构特征,考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题,抓住容积为定值,建立面积目标函数,求解最值,是本题的思路.解设容器底半径为r高为h则V=πr2hh=.1当容器有盖时,所需用料的面积S=2πr2+2πrh=2πr2+=2πr2++≥3当且仅当2πr2=即r=h==2r取“=”号.故时用料最省.
(2)当容器无盖时,所需用料面积S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3当且仅当πr2=r=h==r.即r=h时用料最省.作业补充题
1、设abcR,1求证2求证3若a+b=1求证
2、设a0b0c0且a+b+c=1求证8abc≤1-a1-b1-c.
3、设abc为一个不等边三角形的三边,求证abcb+c-aa+b-cc+a-b.
4、已知abR+,求证
5、设a0b0,且a+b=1,求证。