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直线与椭圆位置关系思想方法在解题中,将直线的方程与椭圆的方程联立,消去一个变量后可得到一个二次方程,控制、讨论这个方程的根,并结合根与系数关系,可以解决如下问题
(1)判断直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离);
(2)交点问题(公共点的个数,与交点坐标相关的等式或不等式);
(3)计算弦长弦长公式为或,其中为弦所在直线的斜率
(4)涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理.题型一直线与椭圆的位置关系例1
(1)直线y=x+m和椭圆4x2+y2=1,当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围
(2)若直线与曲线有一个公共点,求m的取值范围变式若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,求实数m的范围.题型二弦长问题例2
(1)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点交椭圆与A、B两点.,求弦AB的长.
(2)过点P
(02)的直线与椭圆相交于A、B两点,且弦长,求直线方程.
(3)已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程变式分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角的直线与椭圆交于两点,求的面积.题型三中点弦问题例3已知一直线与椭圆相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的直线方程练习在椭圆中中,求通过点
(21)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长题型四求椭圆方程例4中心在原点,一个焦点为F1(0,)的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程例5已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.例
6.已知椭圆=1a>b>0的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与坐标原点距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2k≠0与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E?若存在求出这个k值,若不存在说明理由.2019-2020年高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业1.设直线与椭圆的交点是A,B,为椭圆上的动点,则使的面积为的点的个数为()A.1B.2C.3D.42.直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是()A.B.C.D.3.已知是椭圆的焦点,过作倾斜角为的弦AB,则的面积为_____________.4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,则的方程为()A.B.C.D.
5、若直线与椭圆相交于AB两点,当变化时,的最大值是()2
6.设F1,F2是椭圆=1的左、右两个焦点,若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个,则离心率e的值为
7.AB为椭圆中心弦,F2(-c,0)是其右焦点,则的面积的最大值为
8.已知直线l,椭圆,则m为时l与椭圆相切;m为时l与椭圆相交;m为时,l与椭圆相离
9.设AB是过椭圆左焦点的弦,那么以AB为直径的圆必与椭圆的左准线
10.在椭圆上求一点,使它到直线l的距离最短,并求出此距离11.一动圆过定点,且与定圆相切
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程
(2)过点P
(02)的直线与轨迹M交于不同两点E、F,求的取值范围12.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
13、对于椭圆,是否存在存直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰好被直线平分,若存在,求出的倾斜角的范围,若不存在,请说明理由.
14.椭圆的对称轴为坐标轴,与直线交于两点,又,中点与椭圆中心连线的斜率为,求椭圆方程.15.椭圆的左右焦点分别为F1和F2,过中心O做支线与椭圆相交于A、B两点,若得面积为20,求直线AB的方程。