2019-2020年高考数学第一节导数的概念及其运算教材

2019-2020年高考数学第一节导数的概念及其运算教材教材面面观1．导数的概念1如果当Δx0时，________，我们就说函数y＝fx在点x0处可导，并把这个极限叫做fx在点x0处的导数，记作f′x0，即f′x0＝__________________.2如果函数fx在开区间a，b内________，就说fx在开区间a，b内可导．这时对于开区间a，b内每一个确定的值x0，都对应着________，这样就在开区间a，b内构成一个新的函数，这一新函数叫做fx在开区间a，b内的导函数，记作f′x，即f′x＝________，导函数也简称导数．答案　有极限　＝每一点都可导　一个确定的导数f′x0　2．导数的几何意义函数y＝fx在点x0处的导数的几何意义，就是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案　曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线的斜率3．几种常见的导数C′＝________；xn′＝________；sinx′＝________；cosx′＝________；ex′＝________；ax′＝________；lnx′＝________；logax′＝________.答案　0C为常数　nxn－1　cosx　－sinx　ex　axlna　logae4．导数的四则运算法则设u、v是可导函数，则u±v′＝________；uv′＝________；′＝________v≠0．答案　u′±v′　u′v＋uv′　考点串串讲1．函数y＝fx在点x0处的导数函数y＝fx，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝fx0＋Δx－fx0，比值就叫做函数y＝fx在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．即＝，如果Δx0时，有极限，则称函数在点x0处可导，且把这个极限叫做fx在点x0处的导数或变化率．记作f′x0或y′|x＝x0，即f′x0＝＝.注意　1增量Δx不同于增加量，Δx可正可负，自变量x在x0处有增量，其实质是保证fx在x0处“附近”有定义．2函数y＝fx在点x0处的导数是一个确定的值，而不是含有自变量x的函数表达式．2．函数y＝fx在区间a，b内的导函数导数如果函数y＝fx在开区间a，b内的每一点都可导，则称以a，b内的值x为自变量，以x处的导数f′x为函数值的函数为fx在a，b内的导函数，简称为fx在a，b内的导数，记作f′x或y′.即f′x＝y′＝.注意　

①函数在点x0处可导，是指Δx→0时，有极限，若极限不存在，就称函数在x0处不可导，或称在x0处无导数，因此，并不是所有函数在x0处都有导数，也并不是所有函数在给定开区间内都存在导数．

②函数y＝fx的定义域一般都指开区间，因为在其端点处不一定有增量，即右端点无增量，左端点无减量．

③函数fx在x0处的导数是一个确定的数值，而fx在a，b内的导数则是一个以x为自变量的函数，这是一个变量，实质上f′x0就是f′x在x0处的函数值．3．导数的几何意义与物理意义

①设函数y＝fx在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点Mx0，y0处的切线斜率．过点M的切线方程为y－y0＝f′x0x－x0．

②设s＝st是位移函数，则s′t0表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度．

③设v＝vt是速度函数，则v′t0表示物体在t＝t0时刻的加速度．4．求导数的方法由导数的定义可知，求函数y＝fx在x0处的导数f′x0可以分三步1求函数的增量Δy＝fx0＋Δx－fx0；2求平均变化率＝－；3取极限得导数f′x0＝＝.求fx的导函数f′x的方法类似．5．导数的运算1几种常见函数的导数公式1　C′＝0C为常数；公式2　xn′＝nxn－1n∈Q；公式3　sinx′＝cosx；公式4　cosx′＝－sinx.2对数函数与指数函数的导数

①lnx′＝；

②logax′＝logae；

③ex′＝ex；

④ax′＝axlna.3函数的和、差、积、商的导数

①u±v′＝u′±v′；

②uv′＝u′v＋uv′；

③′＝v≠0．6．复合函数的求导一般地，设函数u＝φx在点x处有导数u′x＝φ′x，函数y＝fu在点x的对应点u处有导数y′u＝f′u，则复合函数y＝fφx在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x或写作f′xφx＝f′u·φ′x．复合函数求导数的步骤1计算f′uu的表达式，并表示为x的函数；2计算u′x的表达式．若ux为基本初等函数或简单函数，则立即求出u′x；若ux仍为复合函数，则继续分解，终可求出u′x．这样就将复合函数的求导归结为基本初等函数或简单函数的求导，从而得到结果．复合函数的求导，当运算熟练以后，可不必写出中间变量，只是心中记住把哪一部分当成中间变量，然后用公式先求函数对中间变量的导数，再乘以中间变量对自变量的导数．通俗地讲，先求外函数对内函数的导数，再乘以内函数对自变量的导数，由外向内一层一层地剥．7．利用导数求曲线的切线方程由于函数y＝fx在x＝x0处的导数，表示曲线在点Px0，fx0处切线的斜率，因此，曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线方程可如下求得1求出函数y＝fx在x＝x0处的导数，即曲线y＝fx在点Px0，fx0处切线的斜率；2在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′x0x－x0．如果曲线y＝fx在点Px0，fx0的切线平行于y轴此时导数不存在时，由切线的定义可知，切线方程为x＝x

0.在求切线方程时需注意，只有当Px0，fx0是切点时，f′x0才表示曲线y＝fx在Px0，fx0处切线的斜率．注意　如果曲线y＝fx在点P0x0，fx0的切线平行于y轴此时导数不存在时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0，对于点P0不在曲线上时，先设切点T，仿照上述方法，求出切线，然后将P0坐标代入求出x′，y′.典例对对碰题型一利用导数公式和法则求函数的导数例1求下列函数的导数1y＝x5－x3＋4x2－6；2y＝x－42x＋12；3y＝；4y＝；5y＝lnx＋；6y＝.解析　1y′＝x5′－x3′＋4x2′－6′＝2x4－x2＋8x.2解法一　∵y＝x－42x＋12＝4x3－12x2－15x－4，∴y′＝12x2－24x－

15.点评　记忆常见的几种函数的导数公式，理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．特别是商的求导法则，求导过程中注意符号及形式特点．求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是

①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系简称分解复合关系；

②分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数简称分层求导.变式迁移1求下列函数的导数1y＝；2y＝；3y＝1＋sinx2；4y＝ln．解析　1y′＝＝＝.题型二利用导数求切线方程例2已知函数fx＝x3＋x－16，1求曲线y＝fx在点2，－6处的切线的方程；2直线l为曲线y＝fx的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；3如果曲线y＝fx的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．分析　首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．解析　1∵f2＝23＋2－16＝－6，∴点2，－6在曲线上．∵f′x＝x3＋x－16′＝3x2＋1，∴在点2，－6处的切线的斜率k＝f′2＝3×22＋1＝

13.∴切线的方程为y＝13x－2＋－6．即y＝13x－

32.2解法一设切点为x0，y0，则直线l的斜率为f′x0＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝3x＋1x－x0＋x＋x0－

16.又∵直线l过点00，∴0＝3x＋1－x0＋x＋x0－

16.整理得x＝－8，∴x0＝－2，y0＝－23＋－2－16＝－26，∴k＝3－22＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为－2，－26．解法二设直线l的方程为y＝kx，切点为x0，y0，则k＝＝.又∵k＝f′x0＝3x＋1，∴＝3x＋1，解得x0＝－2，∴y0＝－23＋－2－16＝－26，k＝3－22＋1＝

13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为－2，－26．3∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴斜率k＝

4.∴设切点为x0，y0，则f′x0＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或切线方程为y＝4x－1－14或y＝4x＋1－

18.即y＝4x－18或y＝4x－

14.点评　灵活利用x＝x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键；根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法.变式迁移2已知曲线y＝5，求1曲线上与直线y＝2x－4平行的切线的方程；2求过点P05且与曲线相切的切线的方程．解析　1设切点为x0，y0，由y＝5，得y′|x＝x0＝.∵切线与y＝2x－4平行．∴＝2，∴x0＝，∴y0＝，则所求切线方程为y－＝2x－．即2x－y＋＝

0.2∵点P05不在曲线y＝5上，故需设切点坐标为Mt，u，则切线斜率为.又∵切线斜率为，∴＝＝，∴2t－2＝t，得t＝

4.∴切点为M410，斜率为，∴切线方程为y－10＝x－4，即5x－4y＋20＝

0.【教师备课资源】题型三导数的定义例3若函数fx在x＝a处的导数为A，求.分析　已知函数fx在x＝a处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为导数的定义．解析　∵＝A，则＝＝＋＝A＋A＝2A.点评　本题考查的是对导数定义的理解.变式迁移3已知fx在x＝a处的导数为A，求.解析　＝＝4＋5＝4－5＝4A－5A＝－A.题型四导数的物理意义例4若一物体的运动方程如下s＝求此物体在t＝1和t＝3时的速度．解析　t＝1时，s＝3t2＋2；t＝3时，s＝29＋3t－

32.分别求出Δs，再由v＝求得当t＝1时，s＝3t2＋2，Δs＝st＋Δt－st＝31＋Δt2＋2－3＋2＝6Δt＋3Δt2，∴v＝＝＝6＋3Δt＝

6.当t＝3时，s＝29＋3t－32，Δs＝st＋Δt－st＝29＋33＋Δt－32－29－33－32＝3Δt2，∴v＝＝＝3Δt＝

0.点评　瞬时速度实质是平均速度当Δx0的极限值．其计算方法与曲线切线的斜率的求法实质是一样的.变式迁移4一质点做直线运动，它所经过的路程s单位m和时间t单位s的关系是s＝3t2＋t＋1，1试求[

22.01]这段时间内质点的平均速度；2当t＝2时的瞬时速度．解析　1Δs＝3×

2.012＋

2.01＋1－3×22＋2＋1＝

0.1303m，∴＝＝＝

13.03m/s．2Δs＝3t＋Δt2＋t＋Δt＋1－3t2－t－1＝3Δt2＋1＋6tΔt，＝＝3Δt＋6t＋

1.∴v＝＝3Δt＋6t＋1＝6t＋1，∴v|t＝2＝13m/s，即当t＝2时，质点运动的瞬时速度是13m/s.方法路路通1．曲线的切线问题及物体的运动速度问题均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．3．掌握复合函数的求导方法．求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．1分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；2分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；3根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；4复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．4．常用结论1可导的周期函数的导函数仍为周期函数，且周期不变．2可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的偶函数的导函数是奇函数.正误题题辨例若直线l过点P2，－4且和抛物线y＝x2－2x相切，求切线l的方程．错解　y′＝2x－2，则y′|x＝2＝2＝k∴切线l的方程为y＋4＝2x－2y＝2x－

8.点击　未注意到点P2，－4不在抛物线上．正解　∵－4≠22－2×2，∴点P2，－4不在曲线y＝x2－2x上，设切点坐标为Qa，b，则有b＝a2－2a　

①y′＝2x－2，∴k＝y′|x＝a＝2a－2而直线PQ的斜率为k＝＝2a－2　

②解

①②组成的方程组可得或∴切线l的斜率为－2或

6.∴切线的方程为y＝－2x或y＝6x－

16.。