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2019-2020年高考数学第四节函数的单调性教材教材面面观1.增函数定义、减函数定义一般地,对于给定区间上的函数fx如果对于______________________________两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有________,那么就说fx在________是增函数.如果对于______________________________两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有________,那么就说fx在________是减函数.答案 属于这个区间的任意 fx1<fx2 这个区间上 属于这个区间的任意 fx1>fx2 这个区间上2.单调性、单调区间如果函数y=fx在某个区间上____________,那么说函数fx在这一区间上具有严格的单调性,________叫做函数y=fx的单调区间.答案 是增函数或是减函数 这一区间3.图象特征在单调区间上增函数的图象从左向右是________的,减函数的图象从左到右是________的如图所示.答案 上升 下降4.若函数fx在闭区间[a,b]上是减函数,则fx的最大值为________,最小值为________,值域为________.答案 fa fb [fb,fa]5.函数单调性的判定方法1定义法利用定义2图象法作出函数图象3复合法对于复合函数y=f[gx],如果内、外层函数单调性相同,那么y=f[gx]为________,如果内、外层函数单调性相反,那么y=f[gx]为__________.4导数法设y=fx在定义域的给定区间上可导,如果________,那么fx为增函数;如果________,那么fx为减函数.5性质法
①若fx、gx都是增减函数,则fx+gx为________函数;若fx为增函数,gx为减函数,则fx-gx为________;若fx为减函数,gx为增函数,则fx-gx为________函数.
②奇函数在两个对称的区间上具有________的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有________的单调性.
③互为反函数的两个函数具有________的单调性.答案 增函数 减函数 f′x>0 f′x<0 增减 增函数 减 相同 相反 相同6.证明函数单调性的方法1________;2________.答案 定义法 导数法考点串串讲1.函数单调性的定义与单调区间1定义一般地,设函数fx的定义域为I.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1<fx2,那么就说fx在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1>fx2,那么就说fx在这个区间上是减函数.如果函数y=fx在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做y=fx的单调区间,若是增函数,则该区间为增区间,若是减函数,则该区间为减区间.2对单调性的理解需注意
①函数的单调性只能在函数的定义域内讨论,单调区间是定义域的子区间或定义域本身,离开了定义域这个大前提就会导致错误.如函数y=lg3+2x-x2的单调递增区间为-11],而不能认为是-∞,1],因为定义域为-13.
②函数fx在给定区间上的单调性,反映了函数在局部区间上函数值的变化趋势.因此若要判定或证明函数在该区间上的单调性,就必须严格地按照定义在该区间上任取两点x1,x2,且x1<x2,然后再比较它们对应的函数值fx1与fx2的大小关系,若fx1<fx2,则fx在这个区间上为增函数,若fx1>fx2,则fx在这个区间上为减函数.若要证明fx在某区间上不具有单调递增的性质,则只要举出反例就可以了.
③函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如函数y=分别在-∞,0,0,+∞内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即-∞,0∪0,+∞内单调递减.
④单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.例如y=sinx在[0,]上单调递增,在[,π]上单调递减.
⑤函数的单调区间是定义域的子集,定义域中的x
1、x2相对于单调区间具有任意性,不能用特殊值替代,例如正弦函数y=sinx,当x1=,x2=π时,因sinπ>sin,但不能说y=sinx在[,]上为增函数.
⑥函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.2.判断或证明函数单调性的方法1根据图象判断函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降.因此可以根据图象的特点来判断.如根据图,指出函数y=fx的单调增区间与减区间.从图上可以看出函数y=fx在区间-∞,-5]和,+∞内递增,在区间-5,]内递减.2根据定义来判断或证明这是最基本的方法,其步骤如下第一步取值,即设x1,x2是该区间内的任意两点,且x1<x
2.第二步变形,变形有两种途径.一般采用作差法,即fx1-fx2,并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形;如果是指数型一般采用作商比较法.第三步定号,确定差fx1-fx2的符号,当符号不确定时,可以进行分区间讨论.如果是作商比较,则需比较变形结果与1的大小关系.第四步判断,根据定义作出结论.3用导函数方法去判断函数单调性.这种方法我们将在后面学习.4判断函数单调性的常用结论
①两个增减函数的和仍为增减函数;一个增减函数与一个减增函数的差是增减函数;
②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;
③互为反函数的两个函数有相同的单调性;
④如果fx在区间D上是增减函数,那么fx在D的任一子区间上也是增减函数;
⑤如果y=fu和u=gx单调性相同,那么y=f[gx]是增函数;如果y=fu和u=gx单调性相反,那么y=f[gx]是减函数.也就是说复合函数的单调性是同增异减.注在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知的单调性,因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性,将大大简化我们的判断过程.3.函数单调性的应用单调性是函数的重要性质,它在研究函数时具有很重要的作用,具体体现在1利用单调性比较大小利用函数的增减性,可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题.如已知函数y=
0.8x在R上是减函数,因为-
3.2<-
0.2,则
0.8-
3.2>
0.8-
0.
2.2确定函数的值域或求函数的最值.如函数fx在区间[a,b]上单调递增.则可以判定它的值域为[fa,fb],若在[a,b]上递减,则函数值域为[fb,fa]且当fx在[a,b]上递增时,fa与fb分别为[a,b]上的最小值与最大值,当fx在[a,b]上递减时,fa与fb分别为[a,b]上的最大值与最小值.典例对对碰题型一用函数单调性的定义证明函数的单调性例1判断下列函数的单调性,并证明.1fx=,x∈-1,+∞;2fx=-x2+2x+1,x∈[1,+∞;3fx=,x∈[-1,+∞.解析 1函数fx=在-1,+∞上为减函数.下面采用定义证明任取x
1、x2∈-1,+∞,且-1<x1<x2,则有x1-x2<0,fx1-fx2=-=,∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>
0.∴>
0.即fx1-fx2>0,所以fx1>fx2.故fx=在-1,+∞上为减函数.2函数fx=-x2+2x+1在[1,+∞上为减函数.证明任取x
1、x2∈R,且x2>x1≥1,则fx1-fx2=-x+2x1+1--x+2x2+1=x-x+2x1-x2=x2+x1x2-x1+2x1-x2=x2-x1x2+x1-2.∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,∴fx1-fx2=x2-x1x2+x1-2>0,即有fx1>fx2.故函数fx=-x2+2x+1在[1,+∞上是减函数.3函数fx=在[-1,+∞上为增函数.证明任取x
1、x2∈[-1,+∞且-1≤x1<x2,则有x1-x2<0,fx1-fx2=-===,∵-1≤x1<x2,则有x1-x2<0,≥0,>
0.∴<0,即有fx1-fx2<0,fx1<fx2.故函数fx=在[-1,+∞上为增函数.变式迁移1证明函数fx=-x在R上是单调减函数.证明 设x1<x2,则fx1-fx2=--x1-x2=-x1-x2=x1-x2-1=x1-x
2.∵x1<x2,∴x1-x2<
0.∵x1≤|x1|<,∴x1-<0,同理x2-<0,∴x1-+x2-<0,∴fx1-fx2>0,即fx1>fx2,∴fx=-x在R上是单调减函数.题型二函数的单调区间例2求函数y=log
0.7x2-3x+2的单调区间及其增减性.解析 由u=x2-3x+2>0得知x<1或x>
2.结合二次函数的图象及单调性易知当x∈-∞,1时,ux为减函数.当x∈2,+∞时,ux为增函数.又y=log
0.7u在定义域内为减函数,因此由复合函数的单调性可知.x∈-∞,1时,y为增函数,x∈2,+∞时,y为减函数.点评 函数的定义域是讨论函数性质的前提,任何问题的解决必须在定义域内进行.因此,首先须求定义域.变式迁移2求下列函数的单调区间,并指出其增减性1y=a1-x2a>0,且a≠1;2y=log4x-x2.解析 1令t=1-x2,则t=1-x2的递减区间是[0,+∞,递增区间是-∞,0].又当a>1时,y=at在-∞,+∞上是增函数;当0<a<1时,y=at在-∞,+∞上是减函数.∴当a>1时,函数的单调减区间是[0,+∞,单调增区间是-∞,0];当0<a<1时,函数的单调减区间是-∞,0],单调增区间是0,+∞.2由4x-x2>0,得函数的定义域是04.令t=4x-x2,∵t=4x-x2=-x-22+4,∴t=4x-x2的递减区间是[24,递增区间是02].又y=logt在0,+∞上是减函数,∴函数的单调减区间是02],单调增区间是[
24.题型三对号函数的单调性例3讨论函数fx=x+a>0的单调性.解析 显然fx为奇函数,所以先讨论函数fx在0,+∞上的单调性.设x1>x2>0,则fx1-fx2=x1+-x2+=x1-x2·1-.∴当0<x2<x1≤时,>1,即fx1-fx2<
0.故fx在0,]上是减函数.当x1>x2≥时,0<<1,则fx1-fx2>
0.故fx在[,+∞上是增函数.∵fx是奇函数,∴fx分别在-∞,-]、[,+∞上为增函数;fx分别在[-,
0、0,]上为减函数.点评 本题的结论很重要,在以后的解题中有着广泛的应用、应予重视.变式迁移3某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱.为了避免混养,箱中要安装一些筛网,平面图如图.如果网箱四周网衣网中实线部分建造单价为每米长160元,筛网图中虚线部分的建造单价为每米长64元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网厚度均忽略不计.1把建造网箱的总造价y元表示为网箱的长x的函数,并求出最低总造价;2若要求网箱的长与宽都不能超过15m,则当网箱的长与宽各为多少m时,可使总造价最低.精确到
0.01m解析 1y=1602x+×2+64××3+100×160=320x++
16000.∵x>0,x+≥2=32,∴当且仅当x=,即x=16时,上式取等号.∴y≥320×32+16000=26240元,即网箱的最低总造价为26240元.2∵x>0,∴10≤x≤
15.设gx=x+10≤x≤15.任取x1,x2∈[10,15]且x1<x2,则gx1-gx2=x1+-x2+=x1-x21-.∵10≤x1<x2≤15,∴x1-x2<01-<
0.∴gx1-gx2>
0.即gx1>gx2.∴gx在[10,15]上是减函数,当x=15m时,gx有最小值,从而y有最小值.此时,网箱的宽为=10≈
10.67m.故当网箱的长为15m,宽为
10.67m时,可使总造价最低.题型四利用函数的单调性解不等式例4奇函数fx是R上的减函数,对任意实数x,恒有fkx+f-x2+x-2>0成立,求k的取值范围.分析 此类抽象函数题目要充分利用函数的性质,想法去掉函数符号“f”,使之成为具体函数,然后求解.解析 由fkx+f-x2+x-2>0,得fkx>-f-x2+x-2,而fx是奇函数,有fkx>fx2-x+2,又fx在R上为减函数,所以kx<x2-x+
2.即x2-k+1x+2>0恒成立,Δ=k+12-4×2<
0.解得-2-1<k<2-
1.点评 本题既要利用奇函数的性质,又要利用减函数的性质,而函数的单调性是解证不等式的重要依据.变式迁移4设定义在[-22]上的偶函数fx在
[02]上单调递减,若f1-m<fm,求实数m的取值范围.解析 ∵fx是偶函数,∴f-x=fx=f|x|.∴不等式f1-m<fm⇔f|1-m|<f|m|.又当x∈
[02]时,fx是减函数.∴解得-1≤m<.题型五抽象函数的单调性例5定义在R上的函数fx,对于任意的x、y∈R都有fx+y=fx+fy,且当x>0时fx<0,f1=-
2.1判断fx的奇偶性并证明;2判断fx的单调性,并求当x∈[-33]时fx的最大值及最小值.解析 1令x=y=0,则f0=f0+f0.∴f0=
0.令y=-x,则f0=fx+f-x=
0.∴f-x=-fx,即fx为奇函数.2任取x1<x2,则fx1-fx2=fx1+f-x2=fx1-x2=-fx2-x1.∵x2-x1>0,∴fx2-x1<0,∴fx1-fx2>
0.∴fx在R上单调递减.∴当x∈[-33]时,f3≤fx≤f-3.∵f2=f1+1=f1+f1=2f1=-4,f3=f2+1=f2+f1=-
6.∴当x∈[-33]时,fx的最大值为6,最小值为-
6.点评 对于抽象函数的单调性的证明,常用如下方法按定义,设x1<x2,判断差fx1-fx2的正负.关键是利用所给式子fx+y=fx+fy及其性质进行适当的配凑.变式迁移5设fx是定义在0,+∞上的增函数,且fx=f+fy,若f3=1,fx-f≥2,求x的取值范围.解析 ∵fx=f+fy,令x=9,y=3,∴f9=f3+f3.又∵f3=1,∴f9=
2.又∵fx-fy=f,由fx-f≥2⇒fx2-5x≥f9.由fx在0,+∞上为增函数,得故x的取值范围是x∈[,+∞.【教师备课资源】题型六与单调性有关的恒成立问题例6已知fx=log3,x∈0,+∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件,1在01]上是减函数,在[1,+∞上是增函数,2fx的最小值是
1.若存在,求出a、b;若不存在,说明理由.解析 ∵fx在01]上是减函数,[1,+∞上是增函数,∴x=1时,fx最小,log3=
1.∴a+b=
2.设0<x1<x2≤1,则fx1>fx2.即>恒成立.由此得>0恒成立.又∵x1-x2<0,∴x1x2-b<0恒成立,∴b≥
1.设1≤x3<x4,则fx3<fx4恒成立.∴<0恒成立.∵x3-x4<0,∴x3x4>b恒成立.∴b≤
1.综上所述,得b=1,a=
1.变式迁移6设fx=lg,其中a∈R.如果当x∈-∞,1]时,fx有意义,求a的取值范围.解析 1+2x+4xa>0⇒a>-x-x,此不等式在-∞,1]上恒成立.令ux=-x-x,可判断ux在-∞,+∞上单调递增.∵x≤1,∴ux≤u1=-.要使a>ux恒成立,则a>-.方法路路通1.单调性与奇偶性是从两个不同的角度研究函数的形态.前者是从局部研究函数值的增减规律,后者是从整体上研究函数值的对称规律.要深刻理解这两个不同的概念.2.判定函数单调性的方法1观察法;2分解法复合函数同增异减;3图象法;4定义法;5导函数法.注意 确定单调性一定相对于某个区间而言,而且一定要在定义域内;判定单调性时应将上述方法从易到难逐步选择.3.运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反,且fx=f-x=f|x|.4.已知函数单调性求参数范围的问题,解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制.5.函数单调性的定义的变形形式给定区间D上的任意x
1、x2,如果x1<x2,都有fx1<fx2或fx1>fx2,则函数fx为这个区间D上的递增减函数.这个定义有如下两种等价形式设x1,x2∈[a,b],那么
①>0⇔fx在[a,b]上是增函数.x1-x2[fx1-fx2]0⇔fx在[a,b]上是增函数.
②0⇔fx在[a,b]上是减函数;x1-x2[fx1-fx2]<0⇔fx在[a,b]上是减函数.
①②的几何意义是增减函数图象上任意两点x1,fx1,x2,fx2连线的斜率都大于小于
0.6.若要证明fx在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例即可,即只要找到两个特殊的x1,x2不满足定义即可.正误题题辨例求函数fx=的单调区间.错解 易忽视函数的定义域,从而导致错误.设y=x2+x-6=x+2-∴y是开口向上的抛物线,对称轴为x=-∴x∈-∞,-]时,fx是减函数.x∈[-,+∞时,fx是增函数.点击 研究复合函数的单调性,先求函数的定义域.正解 依题意,x2+x-6≥0∴x≥2或x≤-3∴函数定义域为-∞,-3]∪[2,+∞而U=x2+x-6=x+2-,在-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞上是增函数.且y=在[0,+∞上是增函数.∴fx在-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞上是增函数.知能层层练针对考点勤钻研 金榜题名不畏难1.下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞上单调递增的是 A.y=cosx B.y=-x2C.y=lg2xD.y=e|x|答案 D解析 A、D两项是偶函数,可排除B、C,而y=cosx在0,+∞并不是单调函数.故选D.2.下列函数中既是奇函数又在[-11]上是增函数的是 A.y=2xB.y=-C.y=-sinxD.y=x3+2x答案 D解析 由奇函数的定义可排除答案A;又函数在[-11]上为增函数,画图可排除B、C,故选D.3.下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,+∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是 A.fx=B.fx=x-12C.fx=exD.fx=lnx+1答案 A解析 fx在0,+∞上是减函数,故选A.4.若fx在R上是奇函数,当x∈0,+∞时为增函数,且f1=0,则不等式fx<0的解集为________.答案 -∞,-1∪01解析 由题意,画出大致图象,则fx<0的解集为-∞,-1∪01.5.已知fx=是奇函数,且f2=.1求实数p和q的值;2判断函数fx在-∞,0上的单调性,并证明.解析 1∵fx是奇函数,∴f-x=-fx,得q=
0.又f2=,得p=
2.2设x1<x2<-1,得fx1-fx2=x1-x
2.∵x1<x2<-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴1->0,∴fx1-fx2<0,fx在-∞,-1上为增函数,同理可证fx在-10上为减函数.。