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2019-2020年高考数学一轮复习函数第4课时函数的奇偶性教学案
①定义如果对于函数fx定义域内的任意x都有,则称fx为奇函数;若,则称fx为偶函数.如果函数fx不具有上述性质,则fx不具有.如果函数同时具有上述两条性质,则fx.
②简单性质1)图象的对称性质一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2)函数fx具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2.与函数周期有关的结论
①已知条件中如果出现、或(、均为非零常数,),都可以得出的周期为;
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称,均可以得到周期例
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)fx=;2fx=log2x+x∈R;3fx=lg|x-2|.解
(1)∵x2-1≥0且1-x2≥0∴x=±1即fx的定义域是{-1,1}.∵f
(1)=0,f-1=0∴f1=f-1f-1=-f1故fx既是奇函数又是偶函数.
(2)方法一易知fx的定义域为R,又∵f-x=log2[-x+]=log2=-log2x+=-fx∴fx是奇函数.方法二易知fx的定义域为R,又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+]+log2x+=log21=0即f-x=-fx∴fx为奇函数.
(3)由|x-2|>0,得x≠
2.∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称,故fx为非奇非偶函数.变式训练1判断下列各函数的奇偶性
(1)f(x)=(x-2);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=解
(1)由≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.
(2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1).这时f(x)=.∵f(-x)=-∴f(x)为偶函数.
(3)x<-1时,f(x)=x+2,-x>1∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,f-x=x+2=fx.-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1f(-x)=0=f(x).∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数.例2已知函数fx当xy∈R时,恒有fx+y=fx+fy.
(1)求证fx是奇函数;
(2)如果x∈R+,f(x)<0并且f1=-试求fx在区间[-2,6]上的最值.
(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x∴f0=fx+f-x.令x=y=0∴f0=f0+f0得f0=
0.∴f(x)+f(-x)=0,得f-x=-fx∴fx为奇函数.
(2)解方法一设xy∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y).∵x∈R+,f(x)<0∴fx+y-fx<0∴fx+y<fx.∵x+y>x∴fx在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f
(0)=0,∴f(x)在(-∞+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f6为最小值.∵f1=-∴f-2=-f2=-2f1=1f6=2f3=2[f
(1)+f
(2)]=-
3.∴所求fx在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-
3.方法二设x1<x2且x1x2∈R.则fx2-x1=f[x2+-x1]=fx2+f-x1=fx2-fx
1.∵x2-x1>0∴fx2-x1<
0.∴fx2-fx1<
0.即fx在R上单调递减.∴f(-2)为最大值,f
(6)为最小值.∵f
(1)=-,∴f(-2)=-f
(2)=-2f
(1)=1,f
(6)=2f
(3)=2[f
(1)+f
(2)]=-
3.∴所求fx)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-
3.变式训练2已知fx是R上的奇函数,且当x∈-∞0时,fx=-xlg2-x求fx的解析式.解∵f(x)是奇函数,可得f0=-f0∴f0=
0.当x>0时,-x<0由已知f-x=xlg2+x∴-f(x)=xlg(2+x),即f(x)=-xlg2+x(x>0).∴fx=即fx=-xlg2+|x|x∈R.例3已知函数fx的定义域为R,且满足fx+2=-fx.
(1)求证fx是周期函数;
(2)若fx为奇函数,且当0≤x≤1时,fx=x求使fx=-在[0,2009]上的所有x的个数.
(1)证明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)解当0≤x≤1时,fx=x设-1≤x≤0则0≤-x≤1∴f(-x)=(-x)=-x.∵fx是奇函数,∴f(-x)=-f(x)∴-f(x)=-x,即fx=x.故fx=x-1≤x≤1又设1<x<3则-1<x-2<1∴fx-2=x-2又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),∴-f(x)=(x-2),∴f(x)=-(x-2)(1<x<3).∴f(x)=由fx=-解得x=-
1.∵f(x)是以4为周期的周期函数.故fx=-的所有x=4n-1n∈Z.令0≤4n-1≤2009则≤n≤又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z)∴在[0,2009]上共有502个x使fx=-.变式训练3已知函数fx=x2+|x-a|+1a∈R.
(1)试判断fx的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求fx的最小值.解1当a=0时,函数f-x=-x2+|-x|+1=fx此时fx为偶函数.当a≠0时,fa=a2+1f-a=a2+2|a|+1fa≠f-afa≠-f-a此时,fx为非奇非偶函数.
(2)当x≤a时fx=x2-x+a+1=x-2+a+∵a≤故函数fx在(-∞,a]上单调递减,从而函数fx在(-∞,a]上的最小值为fa=a2+
1.当x≥a时,函数fx=x2+x-a+1=x+2-a+∵a≥-,故函数fx在[a,+∞)上单调递增,从而函数fx在[a,+∞上的最小值为fa=a2+
1.综上得,当-≤a≤时,函数fx的最小值为a2+
1.1.奇偶性是某些函数具有的一种重要性质,对一个函数首先应判断它是否具有这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断(或证明)函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a与-a,验证fa±f-a≠
0.2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究y轴一侧的性质,再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3.函数的周期性第一应从定义入手,第二应结合图象理解.典型例题小结归纳。