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2019-2020年高考数学一轮复习第七篇不等式第1讲 不等关系与不等式教案理新人教版【xx年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用.【复习指导】不等式的性质是解证不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄清条件和结论,近几年高考中多以小题出现,题目难度不大,复习时,应抓好基本概念,少做偏难题.基础梳理1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.另外,若b>0,则有>1⇔a>b;=1⇔a=b;<1⇔a<b.3.不等式的性质1对称性a>b⇔b<a;2传递性a>b,b>c⇔a>c;3可加性a>b⇔a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d;4可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;5可乘方a>b>0⇒an>bnn∈N,n≥2;6可开方a>b>0⇒>n∈N,n≥2.一个技巧作差法变形的技巧作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方.一种方法待定系数法求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围.两条常用性质1倒数性质
①a>b,ab>0⇒<;
②a<0<b⇒<;
③a>b>00<c<d⇒>;
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.2若a>b>0,m>0,则
①真分数的性质<;>b-m>0;
②假分数的性质>;<b-m>0.双基自测1.人教A版教材习题改编给出下列命题
①a>b⇒ac2>bc2;
②a>|b|⇒a2>b2;
③a>b⇒a3>b3;
④|a|>b⇒a2>b
2.其中正确的命题是 .A.
①②B.
②③C.
③④D.
①④解析 当c=0时,ac2=bc2,∴
①不正确;a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,∴
②正确;a3-b3=a-ba2+ab+b2=a-b·>0,∴
③正确;取a=2,b=-3,则|a|>b,但a2=4<b2=9,∴
④不正确.答案 B2.限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是 .A.v<40km/hB.v>40km/hC.v≠40km/hD.v≤40km/h答案 D3.xx·银川质检已知a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的 .A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 a>b/⇒ac2>bc2,∵当c2=0时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2⇒a>b.答案 B4.已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是 .A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d解析 由不等式性质知a>b,c>d⇒a+c>b+d.答案 D
5.与+1的大小关系为________.解析 -+1=+1-+1=-<0,∴<+
1.答案 <+1 考向一 比较大小【例1】►已知a,b,c是实数,试比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.[审题视点]采用作差法比较,作差后构造完全平方式即可.解 ∵a2+b2+c2-ab+bc+ca=[a-b2+b-c2+c-a2]≥0,当且仅当a=b=c时取等号.∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.比较大小的方法常采用作差法与作商法,但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小.【训练1】已知a,b∈R且a>b,则下列不等式中一定成立的是 .A.>1B.a2>b2C.lga-b>0D.a<b解析 令a=2,b=-1,则a>b,=-2,故>1不成立,排除A;令a=1,b=-2,则a2=1,b2=4,故a2>b2不成立,排除B;当a-b在区间01内时,lga-b<0,排除C;fx=x在R上是减函数,∵a>b,∴fa<fb.答案 D考向二 不等式的性质【例2】►xx·包头模拟若a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题1ad>bc;2+<0;3a-c>b-d;4a·d-c>bd-c中能成立的个数是 .A.1B.2C.3D.4[审题视点]利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假.解析 ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,∴1错误.∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a-c>-b-d,∴ac+bd<0,∴+=<0,∴2正确.∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+-c>b+-d,a-c>b-d,∴3正确.∵a>b,d-c>0,∴ad-c>bd-c,∴4正确,故选C.答案 C在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.【训练2】已知三个不等式
①ab>0;
②bc>ad;
③>.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成正确命题的个数是 .A.0B.1C.2D.3解析 命题1若ab>0,>,则bc>ad;命题2若ab>0,bc>ad,则>;命题3若>,bc>ad,则ab>
0.答案 D考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数fx=ax2+bx,且1≤f-1≤22≤f1≤
4.求f-2的取值范围.[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f-2与已知式f-1,f1之间的关系,即用f-1,f1整体表示f-2,再利用不等式的性质求f-2的范围.解 f-1=a-b,f1=a+b.f-2=4a-2b.设ma+b+na-b=4a-2b.∴∴∴f-2=a+b+3a-b=f1+3f-1.∵1≤f-1≤22≤f1≤4,∴5≤f-2≤
10.由a<fx,y<b,c<gx,y<d,求Fx,y的取值范围,可利用待定系数法解决,即设Fx,y=mfx,y+ngx,y,用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得Fx,y的取值范围.【训练3】若α,β满足试求α+3β的取值范围.解 设α+3β=xα+β+yα+2β=x+yα+x+2yβ.由解得∵-1≤-α+β≤12≤2α+2β≤6,∴两式相加,得1≤α+3β≤
7.考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a>b>c,求证++>
0.[审题视点]充分运用已知条件及不等式性质进行求证.证明 ∵a>b>c,∴-c>-b.∴a-c>a-b>0,∴>>
0.∴+>
0.又b-c>0,∴>
0.++>
0.1运用不等式性质解决问题时,必须注意性质成立的条件.2同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式.【训练4】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证>.证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>
0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>
0.∴a-c2>b-d2>
0.∴0<<.又∵e<0,∴>. 难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式,涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识,而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识,内容丰富多彩.命题的方式主要是选择题、填空题,考查不等式性质、函数性质的应用.
一、作差法【示例】►xx·陕西设0<a<b,则下列不等式中正确的是 .A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D.<a<<b
二、作商法【示例】►若0<x<1,a>0且a≠1,则|loga1-x|与|loga1+x|的大小关系是 .A.|loga1-x|>|loga1+x|B.|loga1-x|<|loga1+x|C.不确定,由a的值决定D.不确定,由x的值决定
三、中间量法【示例】►若a=
20.6,b=logπ3,c=log2sin,则 .A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a。