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2019-2020年高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第9讲 函数的应用教案理新人教版【xx年高考会这样考】1.考查二次函数模型的建立及最值问题.2.考查分段函数模型的建立及最值问题.3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.【复习指导】函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,解答应用问题的重点在信息整理与建模上,建模后利用函数知识分析解决问题.基础梳理1.常见的函数模型及性质1几类函数模型
①一次函数模型y=kx+bk≠0.
②二次函数模型y=ax2+bx+ca≠0.
③指数函数型模型y=abx+cb>0,b≠1.
④对数函数型模型y=mlogax+na>0,a≠1.
⑤幂函数型模型y=axn+b.2三种函数模型的性质 函数性质 y=axa1y=logaxa1y=xnn0在0,+∞上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.四个步骤1审题深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质;2建模由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;3解模用数学知识和方法解决转化出的数学问题;4还原回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.双基自测1.人教A版教材习题改编从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收,某人2011年6月1日存入若干万元人民币,年利率为2%,到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税
138.64元,则该存款人的本金介于 .A.3~4万元B.4~5万元C.5~6万元D.2~3万元解析 设存入的本金为x,则x·2%·20%=
138.64,∴x==
34660.答案 A2.xx·新乡月考某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系是y=3000+20x-
0.1x20<x<240,x∈N*,若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时销售收入不小于总成本的最低产量是 .A.100台B.120台C.150台D.180台解析 设利润为fx万元,则fx=25x-3000+20x-
0.1x2=
0.1x2+5x-3000≥0,∴x≥
150.答案 C3.有一批材料可以围成200米长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地如图,且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 .A.1000米2B.2000米2C.2500米2D.3000米2解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米,如图,则4x+3y=200,又矩形场地的面积S=3xy=3x·=x200-4x=-4x-252+2500,∴当x=25时,Smax=
2500.答案 C4.xx·湖北里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为
0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.解析 由lg1000-lg
0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为
0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg
0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.答案 6 100005.xx·东三校联考为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下明文密文密文明文已知加密为y=ax-2x为明文,y为密文,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是________.解析 依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=
2.所以加密为y=2x-2,因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=
4.答案 4 考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】►xx·武汉调研在经济学中,函数fx的边际函数Mfx定义为Mfx=fx+1-fx.某公司每月生产x台某种产品的收入为Rx元,成本为Cx元,且Rx=3000x-20x2,Cx=500x+4000x∈N*.现已知该公司每月生产该产品不超过100台.1求利润函数Px以及它的边际利润函数MPx;2求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.[审题视点]列出函数解析式,根据函数性质求最值.解 1由题意,得x∈
[1100],且x∈N*.Px=Rx-Cx=3000x-20x2-500x+4000=-20x2+2500x-4000,MPx=Px+1-Px=[-20x+12+2500x+1-4000]--20x2+2500x-4000=2480-40x.2Px=-202+74125,当x=62或x=63时,Px取得最大值74120元;因为MPx=2480-40x是减函数,所以当x=1时,MPx取得最大值2440元.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680元.二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,值得注意的是一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.【训练1】经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t天的函数,且销售量近似地满足ft=-2t+2001≤t≤50,t∈N.前30天价格为gt=t+301≤t≤30,t∈N,后20天价格为gt=4531≤t≤50,t∈N.1写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系;2求日销售额S的最大值.解 1根据题意,得S==2
①当1≤t≤30,t∈N时,S=-t-202+6400,∴当t=20时,S的最大值为6400;
②当31≤t≤50,t∈N时,S=-90t+9000为减函数,∴当t=31时,S的最大值为
6210.∵6210<6400,∴当t=20时,日销售额S有最大值
6400.考向二 指数函数模型的应用【例2】►某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测服药后每毫升血液中的含药量y微克与时间t小时之间近似满足如图所示的曲线.1写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=ft;2据进一步测定每毫升血液中含药量不少于
0.25微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?[审题视点]根据图象用待定系数法求出函数解析式,再分段求出时间长.解 1设y=当t=1时,由y=4得k=4,由1-a=4得.a=
3.则y=2由y≥
0.25得或解得≤t≤5,因此服药一次后治疗有效的时间是5-=小时. 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式,然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解.【训练2】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为
1.2%,试解答以下问题1写出该城市人口总数y万人与年份x年的函数关系式;2计算10年以后该城市人口总数精确到
0.1万人;3计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万人精确到1年;4如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少?参考数据
1.0129≈
1.
1131.01210≈
1.127,lg
1.2≈
0.079,lg2≈
0.3010,lg
1.012≈
0.005,lg
1.009≈
0.0039解 11年后该城市人口总数为y=100+100×
1.2%=100×1+
1.2%2年后该城市人口总数为y=100×1+
1.2%+100×1+
1.2%×
1.2%=100×1+
1.2%
2.3年后该城市人口总数为y=100×1+
1.2%2+100×1+
1.2%2×
1.2%=100×1+
1.2%
3.x年后该城市人口总数为y=100×1+
1.2%x.210年后,人口总数为100×1+
1.2%10≈
112.7万人.3设x年后该城市人口将达到120万人,即100×1+
1.2%x=120,x=log
1.012=log
1.
0121.20≈16年.4由100×1+x%20≤120,得1+x%20≤
1.2,两边取对数得20lg1+x%≤lg
1.2=
0.079,所以lg1+x%≤=
0.00395,所以1+x%≤
1.009,得x≤
0.9,即年自然增长率应该控制在
0.9%.考向三 函数y=x+模型的应用【例3】►xx·湖北为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cx=0≤x≤10,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.1求k的值及fx的表达式;2隔热层修建多厚时,总费用fx达到最小,并求最小值.[审题视点]用基本不等式求最值,注意等号成立的条件.解 1由已知条件C0=8则k=40,因此fx=6x+20Cx=6x+0≤x≤10.2fx=6x+10+-10≥2-10=70万元,当且仅当6x+10=即x=5时等号成立.所以当隔热层为5cm时,总费用fx达到最小值,最小值为70万元.求函数解析式同时要注意确定函数的定义域,对于y=x+a0类型的函数最值问题,特别要注意定义域问题,可考虑用均值不等式求最值,否则要考虑使用函数的单调性.【训练3】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?解 设温室的左侧边长为xm,则后侧边长为m.∴蔬菜种植面积y=x-4=808-24x400.∵x+≥2=80,∴y≤808-2×80=648m
2.当且仅当x=,即x=40,此时=20m,y最大=648m2.∴当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,为648m
2. 规范解答5——应用题中的函数建模问题【问题研究】解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型,因此,首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误1列函数关系式时,会出现由于理不清楚各个量之间的关系,而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误;2列出解析式,在求最优解的过程中,由于方法使用不当而出现求解上的错误.【解决方案】1阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述部分所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.2根据所给模型,列出函数关系式.根据已知条件和数量关系,建立函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.3利用数学的方法将得到的常规函数问题即数学模型予以解答,并求得结果.4将所得结果代入原问题中,对具体问题进行解答.【示例】►本题满分12分xx·湖北提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v单位千米/小时是车流密度x单位辆/千米的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.1当0≤x≤200时,求函数vx的表达式;2当车流密度x为多大时,车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位辆/小时fx=x·vx可以达到最大,并求出最大值.精确到1辆/小时首先求函数vx为分段函数,然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解.[解答示范]1由题意当0≤x≤20时,vx=60;当20≤x≤200时,设vx=ax+b,再由已知,得解得故函数vx的表达式为vx=4分2依题意并由1可得fx=6分当0≤x≤20时,fx为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;7分当20<x≤200时,fx=x200-x≤2=,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,fx在区间20200]上取得最大值.10分综上,当x=100时,fx在区间
[0200]上取得最大值≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.12分对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后再比较大小.另外在利用均值不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条件,也可通过函数的单调性求解最值.。