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2019-2020年高考数学一轮复习不等式第4课时不等式证明
(2)教学案证明不等式的其它方法反证法、换元法、放缩法、判别式法等.反证法从否定结论出发,经过逻辑推理导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原命题是正确的证明方法.换元法对结构较为复杂,量与量之间关系不甚明了的命题,通过恰当引入新变量,代换原命题中的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式的证明方法.放缩法为证明不等式的需要,有时需舍去或添加一些代数项,使不等式的一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证题的目的,这种方法叫放缩法.判别式法根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根,一元二次不等式的解集,二次函数的性质等特征,确定其判别式所应满足的不等式,从而推出所证的不等式成立.例
1.已知fx=x2+px+q,1求证f1+f3-2f2=2;2求证|f1|、|f2|、|f3|中至少有一个不小于.证明:1f1+f3-2f2=1+p+q+9+3p+q-24+2p+q=22用反证法假设|f1|、|f2|、|f3|都小于,则|f1|+2|f2|+|f3|<2,而|f1|+2|f2|+|f3|≥f1+f3-2f2=2,出现矛盾.∴|f1|、|f2|、|f3|中至少有一个不小于.变式训练1设,那么三个数、、()A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解:D例
2.
(1)已知x2+y2=1,求证:.
(2)已知a、b∈R,且a2+b2≤1,求证:.证明:1设∴其中∵∴2令其中k2≤1则≤故原不等式成立.变式训练2设实数x,y满足x2+y-12=1,当x+y+c≥0时,c的取值范围是()A.B.C.D.解:A例
3.若,求证证明当时即故原不等式成立.变式训练3若fn=-n,gn=n-,n=,则fn,gn,n的大小顺序为____________.解:gnφnfn例
4.证明.证明设,则1-yx2+x+1-y=01当y≠1时,∵x∈R,∴△=1-41-y2≥0得2当y=1时,由1-yx2+x+1-y=0得x=0而x=0是函数的定义域中的一个值;∴y=1是它值域中的一个值.综合1和2可知,,即.变式训练4设二次函数,若函数的图象与直线和均无公共点.1求证2求证对于一切实数恒有证明1由ax2+b-1x+c=0无实根,得Δ1=b-12-4ac0由ax2+b+1x+c=0无实根得Δ2=b+12-4ac0两式相加得4ac-b212∵4ac-b210,∴ax+与同号,∴|ax+bx+c|=|ax+2+|=|a|x++≥1.凡是含有“至少”,“至多”,“唯一”,“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法.2.在已知式子中,如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数,可进行三角变换,换元法证明不等式时,要注意换元的等价性.3.放缩法证题中,放缩必须有目标,放缩的途径很多,如用均值不等式,增减项、放缩因式等.4.含有字母的不等式,如果可以化成一边为零,另一边是关于某字母的二次三项式时,可用判别式法证明不等式成立,但要注意根的范围和题设条件的限制.基础过关典型例题归纳小结。