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2019-2020年高考数学一轮复习函数第3课时函数的单调性教学案1.定义如果函数y=fx对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x
1、、x2,当x
1、x2时,
①都有,则称fx在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个;
②都有,则称fx在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个.若函数fx在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则fx称为.2.判断单调性的方法1定义法,其步骤为
①;
②;
③.2导数法,若函数y=fx在定义域内的某个区间上可导,
①若,则fx在这个区间上是增函数;
②若,则fx在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论1.若fxgx均为增减函数,则fx+gx函数;2.若fx为增减函数,则-fx为;3.互为反函数的两个函数有的单调性;4.复合函数y=f[gx]是定义在M上的函数,若fx与gx的单调相同,则f[gx]为,若fxgx的单调性相反,则f[gx]为.5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.例
1.已知函数fx=ax+a>1,证明函数fx在-1+∞上为增函数.证明方法一任取x1x2∈-1+∞不妨设x1<x2则x2-x1>0>1且>0∴,又∵x1+1>0x2+1>0∴>0于是fx2-fx1=+>0故函数fx在(-1+∞)上为增函数.方法二fx=ax+1-a>1求导数得=axlna+∵a>1∴当x>-1时,axlna>0>0>0在(-1,+∞)上恒成立,则fx在(-1+∞)上为增函数.方法三∵a>1∴y=ax为增函数,又y=,在(-1,+∞)上也是增函数.∴y=ax+在(-1,+∞)上为增函数.变式训练1讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解方法一显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x1>x2>0则fx1-fx2=(x1+)-(x2+)=x1-x2·(1-).∴当0<x2<x1≤时,>1则f(x1)-f(x2)<0,即fx1<fx2故f(x)在(0,]上是减函数.当x1>x2≥时,0<<1,则f(x1)-f(x2)>0即fx1>fx2故f(x)在[,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,∴f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数.方法二由=1-=0可得x=±当x>或x<-时,>0∴f(x)分别在(,+∞)、(-∞,-]上是增函数.同理0<x<或-<x<0时,<0即f(x)分别在(0,]、[-,0)上是减函数.例
2.判断函数fx=在定义域上的单调性.解函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}则fx=可分解成两个简单函数.fx==x2-1的形式.当x≥1时,ux为增函数,为增函数.∴f(x)=在[1,+∞上为增函数.当x≤-1时,u(x为减函数,为减函数,∴fx=在(-∞-1]上为减函数.变式训练2求函数y=(4x-x2)的单调区间.解由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=t.∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的单调减区间是[2,4),增区间是(0,2].又y=t在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=(4x-x2)的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,
4.例
3.求下列函数的最值与值域
(1)y=4-;2y=x+;3y=.解
(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],又t=3+2x-x2=4-x-
12.∴t∈[0,4],∈[0,2],从而,当x=1时,ymin=2,当x=-1或x=3时,ymax=
4.故值域为[2,4].2方法一函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数故其图象关于原点对称故只讨论x>0时即可知x<0时的最值.∴当x>0时y=x+≥2=4,等号当且仅当x=2时取得.当x<0时,y≤-4等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值.方法二任取x1x2且x1<x2因为fx1-fx2=x1+-x2+=所以当x≤-2或x≥2时,fx递增当-2<x<0或0<x<2时,fx递减.故x=-2时,fx最大值=f-2=-4x=2时,fx最小值=f2=4所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值.
(3)将函数式变形为y=可视为动点M(x0)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ymin=|AB|=,可求得x=时,ymin=.显然无最大值.故值域为[,+∞).变式训练3在经济学中,函数fx的边际函数Mfx定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x>0)台的收入函数为R(x)=3000x-20x2单位元,其成本函数为C(x)=500x+4000(单位元),利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?解
(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000(x∈[1,100]且x∈N)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x(x∈[1,100]且x∈N).
(2)P(x)=-20x-2+74125,当x=62或63时,Pxmax=74120(元).因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x=1时,MPxmax=2440元).因此,利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.例4.(xx·广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数fx满足f=fx1-fx2,且当x>1时,fx<
0.
(1)求f1的值;
(2)判断fx)的单调性;
(3)若f3=-1解不等式f|x|<-
2.解
(1)令x1=x2>0代入得f1=fx1-fx1=0故f1=
0.
(2)任取x1x2∈0+∞,且x1>x2则>1由于当x>1时,fx<0所以f<0即fx1-fx2<0因此fx1<fx2所以函数fx在区间0+∞上是单调递减函数.
(3)由f=fx1-fx2得f=f9-f3而f3=-1所以f9=-
2.由于函数fx在区间(0+∞)上是单调递减函数,由f|x|<f9得|x|>9∴x>9或x<-
9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.变式训练4函数fx对任意的a、b∈R都有fa+b=fa+fb-1并且当x>0时,fx>
1.
(1)求证fx是R上的增函数;
(2)若f4=5解不等式f3m2-m-2<
3.解
(1)设x1x2∈R,且x1<x2则x2-x1>0∴fx2-x1>
1.fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1+fx1-1-fx1=fx2-x1-1>
0.∴f(x2)>fx
1.即fx是R上的增函数.
(2)∵f
(4)=f(2+2)=f
(2)+f
(2)-1=5,∴f
(2)=3,∴原不等式可化为f3m2-m-2<f2∵fx是R上的增函数,∴3m2-m-2<2解得-1<m<故解集为(-1).1.证明一个函数在区间D上是增减函数的方法有1定义法.其过程是作差——变形——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;2求导法.其过程是求导——判断导函数的符号——下结论.2.确定函数单调区间的常用方法有1观察法;2图象法(即通过画出函数图象,观察图象,确定单调区间);3定义法;4求导法.注意单调区间一定要在定义域内.3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类一类是由参数的范围判定其单调性;一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.典型例题小结归纳。