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2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明
11.5数学归纳法学案理[知识梳理]数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行1.归纳奠基证明当n取第一个值n0n0∈N*时命题成立;2.归纳递推假设n=kk≥n0,k∈N*时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,上述证明方法叫做数学归纳法.[诊断自测]1.概念思辨1用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. 2不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. 3用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n2=n∈N*时,从n=k到n=k+1左边应添加的项为k+
12. 4用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+
23. 答案 1× 2× 3× 4√2.教材衍化1选修A2-2P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn-3条时,第一步检验n等于 A.1B.2C.3D.4答案 C解析 三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n=
3.故选C.2选修A2-2P96T1用数学归纳法证明不等式1+++…+n∈N*成立时,其初始值至少应取 A.7B.8C.9D.10答案 B解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是
8.故选B.3.小题热身1已知fn=+++…+,则 A.fn中共有n项,当n=2时,f2=+B.fn中共有n+1项,当n=2时,f2=++C.fn中共有n2-n项,当n=2时,f2=+D.fn中共有n2-n+1项,当n=2时,f2=++答案 D解析 分母为首项为n,公差为1的等差数列,故fn共有n2-n+1项,当n=2时,=,=,故f2=++.故选D.2用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1k∈N*命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.答案 2k+1解析 由于步长为2,所以2k-1后一个奇数应为2k+
1.题型1 用数学归纳法证明恒等式 求证1-+-+…+-=++…+n∈N*.证明 1当n=1时,左边=1-=,右边==.左边=右边.2假设n=k时等号成立,即1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,1-+-+…+-+=++…++=++…++.即当n=k+1时,等式也成立.综合12可知,对一切n∈N*,等式成立.方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1.思路用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.注意点由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化差异,明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.提醒归纳假设就是证明n=k+1时命题成立的条件,必须用上,否则就不是数学归纳法.冲关针对训练用数学归纳法证明+++…+=其中n∈N*.证明 1当n=1时,等式左边==,等式右边==,∴等式成立.2假设n=kk≥1,k∈N*时等式成立.即++…+=成立,那么当n=k+1时,+++…++=+===,即n=k+1时等式成立.由12可知,对任意n∈N*等式均成立.题型2 用数学归纳法证明不等式 已知数列{an},当n≥2时,an-1,又a1=0,a+an+1-1=a,求证当n∈N*时,an+1an.证明 1当n=1时,∵a2满足a+a2-1=0,且a20,∴a1a
2.2假设当n=kk∈N*时,ak+1ak,∵a-a=ak+2-ak+1ak+2+ak+1+1,ak+1ak≤0,∴a-a
0.又ak+2+ak+1+1-1+-1+1=-1,∴ak+2-ak+10,∴ak+2ak+1,即当n=k+1时,命题成立.由12可知,当n∈N*时,an+1an.方法技巧应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1.适用范围当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.关键用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差求商比较法、放缩法等证明.冲关针对训练已知函数fx=ax-x2的最大值不大于,又当x∈时,fx≥.1求a的值;2设0a1,an+1=fan,n∈N*,证明an.解 1由题意,知fx=ax-x2=-2+.又fxmax≤,所以f=≤.所以a2≤
1.又x∈时,fx≥,所以即解得a≥
1.又因为a2≤1,所以a=
1.2证明用数学归纳法证明
①当n=1时,0a1,显然结论成立.因为当x∈时,0fx≤,所以0a2=fa1≤.故n=2时,原不等式也成立.
②假设当n=kk≥2,k∈N*时,不等式0ak成立.由1知a=1,fx=x-x2,因为fx=x-x2的对称轴为直线x=,所以当x∈时,fx为增函数.所以由0ak≤,得0fakf.于是,0ak+1=fak-·+-=-.所以当n=k+1时,原不等式也成立.根据
①②,知对任何n∈N*,不等式an成立.1.xx·武陵期末用数学归纳法证明不等式++…+n∈N*的过程中,由n=k递推到n=k+1时,下列说法正确的是 A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中两项,但又少了一项D.增加了A中一项,但又少了一项答案 C解析 当n=k时,左端=++…+,那么当n=k+1时,左端=+…+++,故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项,同时减少了这一项.故选C.2.xx·珠海期末《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,反映这个命题本质的式子是 A.1+++…+=2-B.++…+1C.++…+=1D.++…+1答案 B解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项,以为公比的等比数列,∵++…+=1-1,故反映这个命题本质的式子是++…+
1.故选B.3.xx·北京西城区期末若不等式+++…+an∈N*恒成立,则a的取值范围为________.答案 解析 设fn=+++…+,则fn+1=++…+++,则fn+1-fn=+-=-0,∴数列fn是关于nn∈N*的递增数列,∴fn≥f1=,∵不等式+++…+an∈N*恒成立,∴a,故a的取值范围为4.xx·桥西期末用数学归纳法证明n+1n+2n+3…n+n=2n·1·3·5·…·2n-1n∈N*时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是________.答案 4k+2解析 用数学归纳法证明n+1n+2n+3…n+n=2n·1·3·5·…·2n-1n∈N*时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=22k+1.故答案为4k+
2.[基础送分提速狂刷练]
一、选择题1.xx·安庆高三月考用数学归纳法证明2nn2n≥5,n∈N*,第一步应验证 A.n=4B.n=5C.n=6D.n=7答案 B解析 根据数学归纳法的步骤,首先要验证n取第一个值时命题成立,又n≥5,故第一步验证n=
5.故选B.2.用数学归纳法证明12+22+…+n-12+n2+n-12+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是 A.k+12+2k2B.k+12+k2C.k+12D.k+1[2k+12+1]答案 B解析 由n=k到n=k+1时,左边增加k+12+k
2.故选B.3.xx·沈阳调研用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N*能被9整除”,利用归纳法假设证明n=k+1时,只需展开 A.k+33B.k+23C.k+13D.k+13+k+23答案 A解析 假设n=k时,原式k3+k+13+k+23能被9整除,当n=k+1时,k+13+k+23+k+33为了能用上面的归纳假设,只须将k+33展开,让其出现k3即可.故选A.4.已知fn=2n+7·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除fn,则最大的m的值为 A.30B.26C.36D.6答案 C解析 ∵f1=36,f2=108=3×36,f3=360=10×36,∴f1,f2,f3都能被36整除,猜想fn能被36整除.证明如下当n=12时,由以上得证.假设当n=kk≥2时,fk=2k+7·3k+9能被36整除,则当n=k+1时,fk+1-fk=2k+9·3k+1-2k+7·3k=6k+27·3k-2k+7·3k=4k+20·3k=36k+5·3k-2k≥2,∴fk+1能被36整除.∵f1不能被大于36的数整除,∴所求最大的m的值为
36.5.xx·泉州模拟用数学归纳法证明n+n+1+n+2+…+3n-2=2n-12n∈N*时,若记fn=n+n+1+n+2+…+3n-2,则fk+1-fk等于 A.3k-1B.3k+1C.8kD.9k答案 C解析 因为fk=k+k+1+k+2+…+3k-2,fk+1=k+1+k+2+…+3k-2+3k-1+3k+3k+1,则fk+1-fk=3k-1+3k+3k+1-k=8k.故选C.6.xx·太原质检平面内有n条直线,最多可将平面分成fn个区域,则fn的表达式为 A.n+1B.2nC.D.n2+n+1答案 C解析 1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+1+2=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+1+2+3=7个区域;……;n条直线最多可将平面分成1+1+2+3+…+n=1+=个区域.故选C.7.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数13610,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为Nn,kk≥3,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数Nn3=n2+n;正方形数Nn4=n2;五边形数Nn5=n2-n;六边形数Nn6=2n2-n.可以推测Nn,k的表达式,由此计算N1024= A.500B.1000C.1500D.xx答案 B解析 由已知得,Nn3=n2+n=n2+n,Nn4=n2=n2+n,Nn5=n2-n=n2+n,Nn6=2n2-n=n2+n,根据归纳推理可得,Nn,k=n2+n.所以N1024=×102+×10=1100-100=1000,故答案为
1000.选B.8.若数列{an}满足an+5an+1=36n+18,n∈N*,且a1=4,猜想其通项公式为 A.3n+1B.4nC.5n-1D.6n-2答案 D解析 由a1=4求得a2=10,a3=16,经检验an=6n-
2.故选D.
二、填空题9.设Sn=1++++…+,则Sn+1-Sn=______.答案 +++…+解析 Sn+1=1++++…+Sn+1-Sn=+++…+.10.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,下图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以fn表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的fn=________.答案 3n2-3n+1解析 由于f2-f1=7-1=6,f3-f2=19-7=2×6,推测当n≥2时,有fn-fn-1=6n-1,所以fn=[fn-fn-1]+[fn-1-fn-2]+[fn-2-fn-3]+…+[f2-f1]+f1=6[n-1+n-2+…+2+1]+1=3n2-3n+
1.又f1=1=3×12-3×1+1,∴fn=3n2-3n+
1.11.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有Sn-12=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=______.答案 解析 由S1-12=S,得S1=;由S2-12=S2-S1S2,得S2=;由S3-12=S3-S2S3,得S3=.猜想Sn=.12.xx·云南名校联考观察下列等式13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为________.答案 13+23+33+…+n3=2解析 由第一个等式13=12,得13=1+02;第二个等式13+23=32,得13+23=1+22;第三个等式13+23+33=62,得13+23+33=1+2+32;第四个等式13+23+33+43=102,得13+23+33+43=1+2+3+42,由此可猜想第n个等式为13+23+33+43+…+n3=1+2+3+…+n2=
2.
三、解答题13.xx·河南期末设等差数列{an}的公差d0,且a10,记Tn=++…+.1用a1,d分别表示T1,T2,T3,并猜想Tn;2用数学归纳法证明你的猜想.解 1T1==;T2=+=+===;T3=++=++===;由此可猜想Tn=.2证明
①当n=1时,T1=,结论成立,
②假设当n=k时k∈N*时结论成立,即Tk=,则当n=k+1时,Tk+1=Tk+=+===.即n=k+1时,结论成立.由
①②可知,Tn=对于一切n∈N*恒成立.14.xx·扬州模拟在数列{an}中,an=cosn∈N*.1试将an+1表示为an的函数关系式;2若数列{bn}满足bn=1-n∈N*,猜想an与bn的大小关系,并证明你的结论.解 1an=cos=cos=22-1,∴an=2a-1,∴an+1=±,又n∈N*,n+1≥2,an+10,∴an+1=.2当n=1时,a1=-,b1=1-2=-1,∴a1b1,当n=2时,a2=,b2=1-=,∴a2=b2,当n=3时,a3=,b3=1-=,∴a3b
3.猜想当n≥3时,anbn,下面用数学归纳法证明
①当n=3时,由上知,a3b3,结论成立.
②假设n=k,k≥3,n∈N*时,akbk成立,即ak1-,则当n=k+1,ak+1==,bk+1=1-,要证ak+1bk+1,即证明22,即证明1-1-+2,即证明-+20,即证明+20,显然成立.∴n=k+1时,结论也成立.综合
①②可知当n≥3时,anbn成立.综上可得,当n=1时,a1b1;当n=2时,a2=b2;当n≥3,n∈N*时,anbn.15.xx·上饶模拟已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn且Tn=1-bn.1求数列{an},{bn}的通项公式;2设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.解 1设an的首项为a1,∵a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,∴解得∴an=2n-
1.∵n=1时,b1=T1=1-b1,∴b1=.n≥2时,Tn=1-bn
①,Tn-1=1-bn-1
②,
①-
②得bn=bn-1数列是等比数列.∴bn=·n-1=.2Sn=n=n2,Sn+1=n+12,以下比较与Sn+1的大小当n=1时,=,S2=4,S2,当n=2时,=,S3=9,S3,当n=3时,=,S4=16,S4,当n=4时,=,S5=25,S5,猜想n≥4时,Sn+
1.下面用数学归纳法证明
①当n=4时,已证.
②假设当n=kk∈N*,k≥4时,Sk+1,即k+12,那么,n=k+1时,==3·3k+12=3k2+6k+3=k2+4k+4+2k2+2k-1[k+1+1]2=Sk+1+
1.综合
①②,当n≥4时,Sn+
1.16.xx·合肥模拟函数fx=x2-2x-
3.定义数列{xn}如下x1=2,xn+1是过两点P45,Qnxn,fxn的直线PQn与x轴交点的横坐标.1证明2≤xnxn+13;2求数列{xn}的通项公式.解 1证明用数学归纳法证明2≤xnxn+
13.
①当n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为y-5=x-4,令y=0,解得x2=,所以2≤x1x
23.
②假设当n=k时,结论成立,即2≤xkxk+
13.直线PQk+1的方程为y-5=x-4,令y=0,解得xk+2=.由归纳假设知xk+2==4-4-=3,xk+2-xk+1=0,即xk+1xk+
2.所以2≤xk+1xk+23,即当n=k+1时,结论也成立.由
①②知对任意的正整数n2≤xnxn+
13.2由1及题意得xn+1=.设bn=xn-3,则=+1,即+=5,所以数列是首项为-,公比为5的等比数列,因此+=-·5n-1,即bn=-.故数列{xn}的通项公式为xn=3-.。