2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示学案理

2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量

4.2平面向量基本定理及坐标表示学案理[知识梳理]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e

2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a＋b＝x1＋x2，y1＋y2，a－b＝x1－x2，y1－y2，λa＝λx1，λy1，|a|＝，|a＋b|＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝

0.[诊断自测]1．概念思辨1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．　　2平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．　　3设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ

2.　　4若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a∥b的充要条件可表示成＝.　　答案　1×　2√　3√　4×2．教材衍化1必修A4P119T11已知||＝1，||＝，⊥，点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋nm，n∈R，则等于　　A.B．3C.D.答案　B解析　依题意，以O为原点，OA、OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A10，B0，，设Cx，y，由＝m＋n得x＝m，y＝n，又∠AOC＝30°，知＝，故＝3，选B.2必修A4P101A组T5已知向量a＝23，b＝－12，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.答案　－解析　解法一由已知条件可得ma＋nb＝2m3m＋－n2n＝2m－n3m＋2n，a－2b＝23－－24＝4，－1．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.解法二注意到向量a＝23，b＝－12不共线，因此可以将其视为基底，因而ma＋nb与a－2b共线的本质是对应的坐标系数成比例，于是有＝⇒＝－.3．小题热身1已知向量a＝12，b＝10，c＝34．若λ为实数，a＋λb∥c，则λ＝　　A.B.C．1D．2答案　B解析　a＋λb＝1＋λ，2，由a＋λb∥c，得1＋λ×4－3×2＝0，∴λ＝.故选B.2xx·福建高考在下列向量组中，可以把向量a＝32表示出来的是　　A．e1＝00，e2＝12B．e1＝－12，e2＝5，－2C．e1＝35，e2＝610D．e1＝2，－3，e2＝－23答案　B解析　设a＝k1e1＋k2e2，A选项，∵32＝k22k2，∴无解．B选项，∵32＝－k1＋5k22k1－2k2，∴解之得故B中的e1，e2可把a表示出来．同理，C，D选项同A选项，无解．故选B.题型1　平面向量基本定理及应用　　xx·北京高考在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.用向量三角形法则表示出.答案　　－解析　由＝2知M为AC上靠近C的三等分点，由＝，知N为BC的中点，作出草图如下则有＝＋，所以＝＋－·＝－，又因为＝x＋y，所以x＝，y＝－.方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．冲关针对训练设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2λ1，λ2为实数，则λ1＋λ2的值为________．答案　解析　＝＋＝＋＝＋－＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.题型2　平面向量共线的坐标表示及应用角度1　求点的坐标　　已知A23，B4，－3，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________．方程组法．答案　8，－15解析　设Px，y，由点P在线段AB的延长线上，且＝，得x－2，y－3＝x－4，y＋3，即解得所以点P的坐标为8，－15．角度2　研究点共线问题　　xx·佛山调研设＝1，－2，＝a，－1，＝－b0，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　A．2B．4C．6D．8用到均值不等式、向量问题实数化．答案　D解析　由题意可得，＝1，－2，＝a，－1，＝－b0，所以＝－＝a－11，＝－＝－b－1，2．又∵A，B，C三点共线，∴∥，即a－1×2－1×－b－1＝0，∴2a＋b＝1，又∵a0，b0，∴＋＝·2a＋b＝4＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D.方法技巧1．利用两向量共线求点的坐标利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可．注意方程思想的应用．如角度1典例．2．研究点向量共线问题两平面向量共线的充要条件有两种形式1若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝

0.如角度2典例．2若a∥bb≠0，则a＝λb.冲关针对训练1．xx·许昌二模已知△ABC的三个顶点的坐标为A0，1，B10，C0，－2，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是　　A.＋1B.＋1C.－1D.－1答案　A解析　设点M的坐标是x，y，∵C0，－2，且||＝1，∴＝1，则x2＋y＋22＝1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆．∵A01，B10，∴＋＋＝x＋1，y＋1，则|＋＋|＝，几何意义表示点Mx，y与点N－1，－1之间的距离，即圆C上的点与点N－1，－1的距离．∵点N－1，－1在圆C外部，∴|＋＋|的最大值是|NC|＋1＝＋1＝＋1，故选A.2．xx·湖北武昌调考已知点P－12，线段PQ的中点M的坐标为1，－1．若向量与向量a＝λ，1共线，则λ＝________.答案　－解析　点P－12，线段PQ的中点M的坐标为1，－1，∴向量＝2＝21＋1，－1－2＝4，－6．又与向量a＝λ，1共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－.1．xx·全国卷Ⅱ已知向量a＝1，m，b＝3，－2，且a＋b⊥b，则m＝　　A．－8B．－6C．6D．8答案　D解析　由题可得a＋b＝4，m－2，又a＋b⊥b，∴4×3－2×m－2＝0，∴m＝

8.故选D.2．xx·福州一中模拟已知△ABC和点M满足＋＋＝

0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝　　A．2B．3C．4D．5答案　B解析　由＋＋＝0，知点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则＝＝×＋＝＋，所以＋＝3，故m＝3，故选B.3．xx·福建四地六校联考已知A10，B40，C34，O为坐标原点，且＝＋－，则||等于________．答案　2解析　由＝＋－＝＋，知点D是线段AC的中点，故D22，所以＝－22，故||＝＝

2.4．xx·湘中名校联考已知在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，D是BC边上靠近点B的四等分点，F是AC边的中点，若点G是△ABC的重心，则·＝________.答案　－解析　连接AD，AG，如图．依题意，有＝＋＝＋＝＋－＝＋，＝，＝－＝－×＋＝＋－－＝－，故·＝·＝·－2＝－×6×6×－×62＝－－＝－.[基础送分提速狂刷练]

一、选择题1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋bk∈R，d＝a－b.如果c∥d，那么　　A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向答案　D解析　∵c∥d，∴ka＋b∥a－b，∴存在λ使ka＋b＝λa－b，∴⇒∴c＝－a＋b，∴c与d反向．故选D.2．xx·襄樊一模已知＝1，－3，＝2，－1，＝k＋1，k－2，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是　　A．k＝－2B．k＝C．k＝1D．k＝－1答案　C解析　若点A，B，C不能构成三角形，则向量与共线．因为＝－＝2，－1－1，－3＝12，＝－＝k＋1，k－2－1，－3＝k，k＋1．所以1×k＋1－2k＝0，解得k＝1，故选C.3．xx·怀化一模设向量a＝1，－3，b＝－24，c＝－1，－2，若表示向量4a4b－2c2a－c，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝　　A．26B．－26C．2，－6D．－2，－6答案　D解析　设d＝x，y，由题意知4a＝4，－12，4b－2c＝－620，2a－c＝4，－2，又4a＋4b－2c＋2a－c＋d＝0，所以4，－12＋－620＋4，－2＋x，y＝00，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝－2，－6．故选D.4．xx·河南高三质检在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝4，D是AB上一点，且·＝5，则||等于　　A．6B．4C．2D．1答案　C解析　设＝λ，∵＝－，∴·＝·－＝λ2－·＝5，可得25λ＝15，∴λ＝，∴||＝||＝2，故选C.5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝31，b＝13．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是　　答案　A解析　由题意知＝3λ＋μ，λ＋3μ，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，排除B；取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含13，排除C，D，故选A.6．xx·茂名检测已知向量a＝3，－2，b＝x，y－1且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是　　A．24B．8C.D.答案　B解析　∵a∥b，∴－2x－3y－1＝0，即2x＋3y＝3，又x，y0，∴＋＝×2x＋3y＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．∴＋的最小值是

8.故选B.7．xx·济南二模如图所示，两个非共线向量、的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且＝x＋yx，y∈R，则x2＋y2的最小值为　　A.B.C.D.答案　A解析　因为点C，M，N共线，则＝λ＋μ＝λ＋μ，λ＋μ＝1，由＝x＋y，x＝λ，y＝μ＝1－λ，x2＋y2＝2＋1－λ2＝λ2－＋，设gλ＝λ2－＋，由二次函数的性质可知当λ＝时，gλ取最小值，最小值为g＝，所以x2＋y2的最小值为，故选A.8．xx·河南中原名校联考如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μλ，μ为实数，则λ2＋μ2＝　　A.B.C．1D.答案　A解析　＝＋＝＋＝＋＋＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.故选A.9．xx·安徽十校联考已知A，B，C三点不共线，且＝－＋2，则＝　　A.B.C．6D.答案　C解析　如图，取＝－，＝2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，此时＝－＋

2.由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，而S△AMD＝S△AND，∴＝

6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝　　A.a－bB．－a＋bC．－a＋bD.a＋b答案　B解析　根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝，则A10，B00，C01，D，∴＝－10，＝－11，＝.令＝λ＋μ，则有得∴＝－a＋b.故选B.

二、填空题11．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A1，2，B21，C42，则点D的坐标为________．答案　24解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝

2.设点D的坐标为x，y，则＝4－x2－y，＝1，－1，∴4－x2－y＝21，－1，即4－x2－y＝2，－2，∴解得故点D的坐标为24．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝a＋c，b，q＝b－a，c－a，若p∥q，则角C的大小为________．答案　60°解析　由p∥q，得a＋cc－a＝bb－a，整理，得b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝＝.又0°C180°，∴C＝60°.13．xx·太原三模在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点含边界，若＝＋λ，则||的最大值为________．答案　解析　以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，∴A00，B30，C1，，设点P为x，y，0≤x≤3，0≤y≤，∵＝＋λ，∴x，y＝30＋λ1，＝2＋λ，λ，∴∴y＝x－2，

①直线BC的方程为y＝－x－3，

②联立

①②，解得此时||最大，∴|AP|＝＝.14．xx·江西南昌一模已知三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，＝3，若点P是BC边上的动点，则·的取值范围是________．答案　解析　因为AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，AB＝.因为＝3，所以＝.设＝t，则0≤t≤1，所以＝＋＝＋t，又＝＋＝＋，所以·＝＋t·＝2＋t·＋·＋t2＝＋t×4×cos150°＋×4×·cos150°＋t×42＝4t－，因为0≤t≤1，所以－≤4t－≤，即·的取值范围是.

三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A10，B.设∠AOC＝α，则Ccosα，sinα，由＝x＋y，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值

2.16．xx·湖北襄阳阶段测试在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A10和点B－1，0，||＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．1若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；2若x∈，向量m＝，n＝1－cosx，sinx－2cosx，求m·n的最小值及对应的x值．解　1设Dt00≤t≤1，由题易知C，所以＋＝，所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝2＋0≤t≤1，所以当t＝时，|＋|2最小，最小值为.2由题意得Ccosx，sinx，m＝＝cosx＋1，sinx，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－sin.因为x∈，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，sin取得最大值1，所以m·n的最小值为1－，此时x＝.。