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2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式
6.3基本不等式课后作业文
一、选择题1.若x>0,则x+的最小值是 A.2B.4C.D.2答案 D解析 由基本不等式可得x+≥2=2,当且仅当x=即x=时取等号,故最小值是
2.故选D.2.若函数fx=x+x>2在x=a处取最小值,则a等于 A.1+B.1+C.3D.4答案 C解析 当x2时,x-20,fx=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=x>2,即x=3时取等号,即当fx取得最小值时,即a=
3.故选C.3.xx·河南平顶山一模若对任意x0,≤a恒成立,则a的取值范围是 A.a≥B.a>C.a<D.a≤答案 A解析 因为对任意x0,≤a恒成立,所以对x∈0,+∞,a≥max,而对x∈0,+∞,=≤=,当且仅当x=1时等号成立,∴a≥.故选A.4.在方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的区域内包括边界任取一点Px,y,则z=xy的最大值为 A.B.C.D.答案 C解析 根据题意如图所示,要保证z最大,则P应落在第一或第三象限内,不妨设P点落在线段AB上,故z=xy=x1-x≤2=,当且仅当x=时,等号成立,故z的最大值为.故选C.5.xx·福建四地六校联考已知函数fx=x++2的值域为-∞,0]∪[4,+∞,则a的值是 A.B.C.1D.2答案 C解析 由题意可得a0,
①当x0时,fx=x++2≥2+2,当且仅当x=时取等号;
②当x0时,fx=x++2≤-2+2,当且仅当x=-时取等号.所以解得a=
1.故选C.6.xx·浙江考试院抽测若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是 A.B.C.D.答案 B解析 对于x2+3xy-1=0可得y=,∴x+y=+≥2=当且仅当x=时等号成立.故选B.7.已知实数a0,b0,且ab=1,若不等式x+y·m,对任意的正实数x,y恒成立,则实数m的取值范围是 A.[4,+∞B.-∞,1]C.-∞,4]D.-∞,4答案 D解析 因为a,b,x,y为正实数,所以x+y·=a+b++≥a+b+2≥2+2=4,当且仅当a=b,=,即a=b,x=y时等号成立,故只要m4即可.故选D.8.xx·忻州一中联考设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是 A.B.C.2+D.2-答案 A解析 an=a1+n-1d=n,Sn=,∴==≥=,当且仅当n=4时取等号.∴的最小值是.故选A.9.xx·东北育才学校模拟设=1,-2,=a,-1,=-b0a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是 A.4B.C.8D.9答案 D解析 ∵=-=a-11,=-=-b-12,若A,B,C三点共线,则有∥,∴a-1×2-1×-b-1=0,∴2a+b=1,又a0,b0,∴+=·2a+b=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.故选D.10.xx·河南洛阳统考设二次函数fx=ax2+bx+c的导函数为f′x.若∀x∈R,不等式fx≥f′x恒成立,则的最大值为 A.+2B.-2C.2+2D.2-2答案 B解析 由题意得f′x=2ax+b,由fx≥f′x在R上恒成立得ax2+b-2ax+c-b≥0在R上恒成立,则a0且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,则≤=,且4ac-4a2≥0,∴4·-4≥0,∴-1≥0,令t=-1,则t≥
0.当t>0时,≤=≤=-2,当t=0时,=0,故的最大值为-
2.故选B.
二、填空题11.xx·福建高考要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________单位元.答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=
4.T=4×20+2x+2y×1×10=80+20x+y≥80+20×2=80+20×4=
160.当且仅当x=y时取等号故该容器的最低总造价是160元.12.xx·河南百校联盟模拟已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值为________.答案 解析 ∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴+=[a+1+b+3]=≥2+2=,当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,∴+的最小值为.13.xx·泰安模拟正实数a、b满足+=6,则4a+5b的最小值是________.答案 解析 正实数a、b满足+=6,令a+2b=m2a+b=n,则正数m,n满足+=6,则4a+5b=2m+n=2m+n·=≥=,当且仅当=即m=n=时取等号,此时a=b=,故4a+5b的最小值为.14.已知x,y满足约束条件且目标函数z=ax+bya,b>0的最大值为4,则+的最小值为________.答案 3+2解析 画区域如图,易知目标函数在点A处取得最大值,由解得所以2a+2b=4,即a+b=2,所以+=+=2+++1=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即时,取等号.故+的最小值为3+
2.
三、解答题15.xx·太原期末如图,围建一个面积为100m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙旧墙需维修,其余三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,已知旧墙的维修费用为56元/米,新墙的造价为200元/米,设利用的旧墙长度为x单位米,修建此矩形场地围墙的总费用y单位元.1将y表示为x的函数;2求当x为何值时,y取得最小值,并求出此最小值.解 1由题意得矩形场地的另一边长为米,∴y=56x+×200=256x+-400x>0.2由1得y=256x+-400≥2-400=6000,当且仅当256x=时,等号成立,即当x=米时,y取得最小值6000元.16.xx·南昌模拟已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA,tanB是关于x的方程x2+1+px+p+2=0的两个实根,c=
4.1求角C的大小2求△ABC面积的取值范围.解 1由题意得tanA+tanB=-1-p,tanA·tanB=p+2,所以tanA+B===1,故△ABC中,A+B=,所以C=.2由C=,c=4及c2=a2+b2-2abcosC,可得42=a2+b2-2ab×,整理得16=a2+b2+ab,即16-ab=a2+b2,又a0,b0,所以16-ab=a2+b2≥2ab,得ab≤,当且仅当a=b时取等号,所以△ABC的面积S=absinC=×ab×≤××==4-4,所以△ABC面积的取值范围为04-4].。