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2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何
8.7抛物线课后作业文
一、选择题1.xx·皖北协作区联考已知抛物线C x2=2pyp0,若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为 A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案 C解析 由得或即两交点坐标为00和4p8p,则=4,得p=1舍去负值,故抛物线C的方程为x2=2y.故选C.2.xx·全国卷Ⅱ设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= A.B.6C.12D.7答案 C解析 抛物线C y2=3x的焦点为F,所以AB所在的直线方程为y=,将y=代入y2=3x,消去y整理得x2-x+=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,由根与系数的关系得x1+x2=,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+=
12.故选C.3.xx·广东广州模拟如果P1,P2,…,Pn是抛物线C y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|= A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20答案 A解析 由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为10,准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=x1+x2+…+xn+n=n+
10.故选A.4.xx·江西赣州二模抛物线C y2=2pxp0的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 不妨设Ax0,y0在第一象限,由题意可知即∴A,又∵点A的抛物线y2=2px上,∴=2p×,即p4=16,又∵p0,∴p=2,故选B.5.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,若|AF|=6,=λλ0,则λ的值为 A.B.C.D.3答案 D解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,C-2,y3,则x1+2=6,解得x1=4,y1=±4,点A44,则直线AB的方程为y=2x-2,令x=-2,得C-2,-8,联立方程组解得B1,-2,所以|BF|=1+2=3,|BC|=9,所以λ=
3.故选D.6.xx·抚顺一模已知点P是抛物线y2=-4x上的动点,设点P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+y-4=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 A.2B.C.D.答案 D解析 点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x+y-4=0的垂线,此时d1+d2最小,∵F-10,则d1+d2==.故选D.7.xx·北京东城区期末已知抛物线C1y=x2p0的焦点与双曲线C2-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p= A.B.C.D.答案 D解析 由题意可知,抛物线开口向上且焦点坐标为,双曲线焦点坐标为20,所以两个焦点连线的直线方程为y=-x-2.设Mx0,y0,则有y′=x0=⇒x0=p.因为y0=x,所以y0=.又M点在直线y=-x-2上,即有=-⇒p=,故选D.8.xx·河北邯郸调研已知Mx0,y0是曲线C-y=0上的一点,F是曲线C的焦点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·<0,则x0的取值范围是 A.-10∪01B.-10C.01D.-11答案 A解析 由题意知曲线C为抛物线,其方程为x2=2y,所以F,根据题意可知,Nx00,x0≠0,=,=0,-y0,所以·=-y0<0,即0<y0<,因为点M在抛物线上,所以有0<<,又x0≠0,解得-1<x0<0或0<x0<1,故选A.9.xx·山西五校联考已知抛物线C y2=2pxp0上一点5,m到焦点的距离为6,P,Q分别为抛物线C与圆M x-62+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为 A.2-B.2-1C.1-D.-1答案 A解析 因为6=+5,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.设Px,y,则|PM|===,可知当x=4时,|PQ|取得最小值,最小值为-1=2-1,此时不妨取P点的坐标为4,-4,则直线PM的斜率为2,即tan∠PMO=2,所以cos∠PMO=,故当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为2-1·cos∠PMO=2-.故选A.10.xx·湖北七市联考过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,若|AF||BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为 A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案 A解析 由双曲线方程x2-=1知其渐近线方程为y=±x,∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±,不妨取kAB=,则其倾斜角为60°,即∠AFx=60°.过A作AN⊥x轴,垂足为N.由|AF|=2,得|FN|=
1.过A作AM⊥准线l,垂足为M,则|AM|=p+
1.由抛物线的定义知,|AM|=|AF|,∴p+1=2,∴p=1,∴抛物线的方程为y2=2x,故选A.
二、填空题11.xx·河南新乡二模已知点A1,y1,B9,y2是抛物线y2=2pxp0上的两点,y2y10,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则y+y2的值为________.答案 10解析 由抛物线的定义可知,9+=5,解得p=2,∴抛物线方程为y2=4x,又∵A,B两点在抛物线上,∴y1=2,y2=6,∴y+y2=22+6=
10.12.xx·湖南岳阳二模直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+y-12=1从左至右的交点依次为A,B,C,D,则的值为________.答案 16解析 如图所示,抛物线x2=4y的焦点为F01,直线3x-4y+4=0过点01,由得4y2-17y+4=0,设Ax1,y1,Dx2,y2,则y1+y2=,y1y2=1,解得y1=,y2=4,则===
16.13.xx·河南安阳二模已知抛物线C1y=ax2a0的焦点F也是椭圆C2+=1b0的一个焦点,点M,P分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为________.答案 2解析 将P代入+=1,可得+=1,∴b=,c=1,∴抛物线的焦点F为01,∴抛物线C1的方程为x2=4y,准线为直线y=-1,设点M在准线上的射影为D,根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,∴要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值,易知当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,最小值为1--1=
2.14.xx·河北衡水中学调研已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则p=________.答案 1解析 易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,准线为x=-,不妨设点A在x轴上方,如图,过A,B作准线的垂线AA′,BB′,垂足分别为A′,B′,过点B作BH⊥AA′,交AA′于H,则|BB′|=|A′H|,设|FB|=t,则|AF|=|AA′|=4t,∴|AH|=|AA′|-|A′H|=3t,又|AB|=5t,∴在Rt△ABH中,cos∠HAB=,∴tan∠HAB=,则可得直线AB的方程为y=.由得8x2-17px+2p2=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|=x1+x2+p=p+p=p,易知点O到直线AB的距离为d=|OF|·sin∠A′AB=×=p.∴S△AOB=×p×p==,∴p2=1,又p0,∴p=
1.B级
三、解答题15.xx·泰安模拟已知抛物线C y2=2pxp0的焦点为F,抛物线C与直线l1y=-x的一个交点的横坐标为
8.1求抛物线C的方程;2不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.解 1易知直线与抛物线的交点坐标为8,-8,∴-82=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.2直线l2与l1垂直,故可设直线l2x=y+m,Ax1,y1,Bx2,y2,且直线l2与x轴的交点为M.由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m0,∴m-
2.y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m
2.由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,∴m=8或m=0舍,∴直线l2x=y+8,M80.故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|=3=
24.16.xx·浙江高考如图,设抛物线y2=2pxp>0的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-
1.1求p的值;2若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解 1由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=
2.2由1得,抛物线方程为y2=4x,F10,可设At2,2t,t≠0,t≠±
1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF x=sy+1s≠0,由消去x,得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN y=-x-1,直线BN y=-.所以N.设Mm0,由A,M,N三点共线,得=,于是m=t≠0,t≠±1.所以m<0或m>
2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是-∞,0∪2,+∞.17.xx·北京高考已知抛物线C y2=2px过点P11.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.1求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;2求证A为线段BM的中点.解 1由抛物线C y2=2px过点P11,得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.2证明由题意,设直线l的方程为y=kx+k≠0,l与抛物线C的交点为Mx1,y1,Nx2,y2.由得4k2x2+4k-4x+1=0,则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为11,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为x1,x1.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1,故A为线段BM的中点.18.xx·湖南检测已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F10的距离小
1.1求曲线C的方程;2过F作弦PQ,RS,设PQ,RS的中点分别为A,B,若·=0,求||最小时,弦PQ,RS所在直线的方程;3是否存在一定点T,使得=λ-?若存在,求出P的坐标,若不存在,试说明理由.解 1由条件,点M到点F10的距离等于到直线x=-1的距离,所以曲线C是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.2设lPQ y=kx-1,代入y2=4x得k2x2-2k2+2x+k2=
0.由韦达定理∴xA===1+,yA=kxA-1=.∴A,∵·=0,∴PQ⊥RS.只要将A点坐标中的k换成-,得B1+2k2,-2k,∴||==≥4当且仅当k=±1时取“=”,所以,||最小时,弦PQ,RS所在直线的方程为y=±x-1,即x+y-1=0或x-y-1=
0.3∵=λ-⇒+=λ⇒=λ,即A,T,B三点共线,∴是否存在一定点T,使得=λ-,即探求直线AB是否过定点.由2知,直线AB的方程为y+2k=x-2k2-1,整理得1-k2y=kx-3,∴直线AB过定点30,故存在一定点T30,使得=λ-.。