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2019-2020年高考数学一轮复习第9章统计统计案例第3讲变量相关关系与统计案例增分练1.[xx·湖北模拟]已知变量x和y满足关系y=-
0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是 A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关答案 C解析 因为y=-
0.1x+1的斜率小于0,故x与y负相关.因为y与z正相关,可设z=y+,0,则z=y+=-
0.1x++,故x与z负相关.2.[xx·桂林模拟]根据如下样本数据x345678y
4.
02.5-
0.
50.5-
2.0-
3.0得到的回归方程为=bx+a,则 A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0答案 B解析 由表中数据画出散点图,如图,由散点图可知b0,a
0.3.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动,计算得到统计量K2的观测值k≈
4.892,参照附表,得到的正确结论是 PK2≥k
0.
100.
050.025k
2.
7063.
8415.024A.有
97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有
97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”答案 C解析 因为K2的观测值k≈
4.
8923.841,所以有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.4.[xx·洛阳模拟]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图x轴、y轴的单位长度相同,用回归直线方程=bx+a近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是 A.线性相关关系较强,b的值为
1.25B.线性相关关系较强,b的值为
0.83C.线性相关关系较强,b的值为-
0.87D.线性相关关系较弱,无研究价值答案 B解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近,所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以回归直线方程的斜率应为正数,且从散点图观察,回归直线方程的斜率应该比y=x的斜率要小一些,综上可知应选B.5.某产品的广告费用x单位万元与销售额y单位万元的统计数据如下表广告费用x4235销售额y49263954根据上表可得回归方程=x+中的为
9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A.
63.6万元B.
65.5万元C.
67.7万元D.
72.0万元答案 B解析 ==
3.5,==
42.因为回归直线过点,,所以42=
9.4×
3.5+,解得=
9.
1.故回归方程为=
9.4x+
9.
1.所以当x=6时,=6×
9.4+
9.1=
65.
5.6.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到如图所示2×2列联表理科文科总计男131023女72027总计203050已知PK2≥
3.841≈
0.05,PK2≥
5.024≈
0.
025.根据表中数据,得到K2的观测值k=≈
4.844,则有________的把握认为选修文科与性别有关.答案 95%解析 由题意知,k=≈
4.844,因为
5.
0244.
8443.841,所以有95%的把握认为选修文科与性别有关.7.[xx·沧州七校联考]某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y单位度与当天气温x单位℃,并制作了对照表如表所示.由表中数据,得线性回归方程=-2x+,当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为________度.x181310-1y24343864答案 70解析 气温的平均值=×18+13+10-1=10,用电量的平均值=×24+34+38+64=40,因为回归直线必经过点,,将其代入线性回归方程得40=-2×10+,解得=60,故回归方程为=-2x+
60.当x=-5时,=-2×-5+60=70,所以当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为70度.8.已知x,y之间的一组数据如下表x23456y34689对于表中数据,现给出如下拟合直线
①y=x+1;
②y=2x-1;
③y=x-;
④y=x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________填序号.答案
③解析 由题意知=4,=6,∴==,∴=-=-,∴=x-,∴填
③.9.由某种设备的使用年限xi年与所支出的维修费yi万元的数据资料算得如下结果,=90,iyi=112,i=20,i=
25.1求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程=x+;2
①判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
②当使用年限为8年时,试估计支出的维修费是多少.解 1∵i=20,i=25,∴=i=4,=i=5,∴===
1.2,=-=5-
1.2×4=
0.
2.∴线性回归方程为=
1.2x+
0.
2.2
①由1知=
1.20,∴变量x与y之间是正相关.
②由1知,当x=8时,=
9.8,即使用年限为8年时,支出的维修费约是
9.8万元.10.[xx·聊城模拟]在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在
[40100],分数在80以上含80的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.1求a的值,并计算所抽取样本的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;2填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式K2=PK2≥k
00.
150.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001k
02.
0722.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.828解 1a=[1-
0.01+
0.015+
0.03+
0.015+
0.005×10]÷10=
0.025,=45×
0.1+55×
0.15+65×
0.25+75×
0.3+85×
0.15+95×
0.05=
69.22×2列联表如下文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200因为K2==≈
4.
1673.841,所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”.[B级 知能提升]1.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据xi,yii=12,…,8,其回归直线方程是=x+,且x1+x2+x3+…+x8=2y1+y2+y3+…+y8=
6.则实数的值是 A.B.C.D.答案 B解析 依题意可知样本点的中心为,则=×+,解得=.2.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是 参考公式K2=附表PK2≥k
0.
0500.
0100.001k
3.
8416.
63510.828A.列联表中c的值为30,b的值为35B.列联表中c的值为15,b的值为50C.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”答案 C解析 由题意知,成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75,所以c=20,b=45,选项A,B错误.根据列联表中的数据,得到K2=≈
6.
1093.841,因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”,选项C正确.3.[xx·赣州模拟]在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x6,y6的散点图中,若所有样本点xi,yii=12,…,6都在曲线y=bx2-附近波动.经计算xi=11,yi=13,x=21,则实数b的值为________.答案 解析 令t=x2,则曲线的回归方程变为线性的回归方程,即y=bt-,此时==,==,代入y=bt-,得=b×-,解得b=.4.某校开展“翻转合作学习法”教学试验,经过一年的实践后,对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试,按照大于或等于120分为“成绩优秀”,120分以下为“成绩一般”统计,得到如下的2×2列联表成绩优秀成绩一般合计对照班2090110翻转班4070110合计601602201根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过
0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关;2为了交流学习方法,从这次测试数学成绩优秀的学生中,用分层抽样的方法抽出6名学生,再从这6名学生中抽出3名交流学习方法,求至少抽到一名“对照班”学生的概率.附K2=PK2≥k
00.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001k
02.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.828解 1K2==≈
9.
16710.828,∴在犯错误的概率不超过
0.001的前提下,不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关.2设从“翻转班”中抽取x人,从“对照班”中抽取y人,由分层抽样的定义可知==,解得x=4,y=
2.在这6名学生中,设“对照班”的2名学生分别为A1,A2,“翻转班”的4名学生分别为B1,B2,B3,B
4.则所有的抽样情况如下,{A1,A2,B1},{A1,A2,B2},{A1,A2,B3},{A1,A2,B4},{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3},{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},{B1,B2,B3},{B1,B2,B4},{B1,B3,B4},{B2,B3,B4},共20种.其中至少有一名“对照班”学生的情况有16种.记事件A为至少抽到一名“对照班”学生交流学习方法,则PA===
0.
8.5.[xx·太原模拟]假设关于某种设备的使用年限x年与所支出的维修费用y万元有如以下的统计数据x年23456y万元
2.
23.
85.
56.
57.0已知x=90,y=
140.8,xiyi=
112.3,≈
8.9,≈
1.
4.1求,;2对x,y进行线性相关性检验;3如果x与y具有线性相关关系,求出回归直线方程;4估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?解 1==4,==
5.2因为xiyi-5=
112.3-5×4×5=
12.3,x-52=90-5×16=10,y-52=
140.8-125=
15.8,所以r==≈
0.
987.因为
0.
9870.75,所以x与y之间具有很强的线性相关关系.3因为===
1.23,=-=5-
1.23×4=
0.08,所以所求的回归直线方程为=
1.23x+
0.
08.4当x=10时,=
1.23×10+
0.08=
12.38,即估计使用年限为10年时,维修费用约为
12.38万元.。