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2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式
7.3基本不等式及其应用讲义考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度xxxxxxxxxx基本不等式及其应用
1.利用基本不等式求最值
2.基本不等式的实际运用
3.基本不等式的变形运用C10题5分填空题解答题★★★分析解读 基本不等式是求函数最值的重要工具在实际应用题中也经常用到是高考的热点复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.五年高考考点 基本不等式及其应用
1.xx江苏105分某公司一年购买某种货物600吨每次购买x吨运费为6万元/次一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小则x的值是 . 答案
302.xx山东文125分若直线+=1a0b0过点12则2a+b的最小值为 . 答案
83.xx天津理改编85分已知函数fx=设a∈R若关于x的不等式fx≥在R上恒成立则a的取值范围是 . 答案
4.xx山东理改编125分设正实数xyz满足x2-3xy+4y2-z=0则当取得最大值时+-的最大值为 . 答案
15.xx山东理1612分在△ABC中角ABC的对边分别为abc.已知2tanA+tanB=+.1证明:a+b=2c;2求cosC的最小值.解析 1证明:由题意知2=+化简得2sinAcosB+sinBcosA=sinA+sinB即2sinA+B=sinA+sinB.因为A+B+C=π所以sinA+B=sinπ-C=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.2由1知c=所以cosC===-≥当且仅当a=b时等号成立.故cosC的最小值为.三年模拟A组 xx模拟·基础题组考点 基本不等式及其应用
1.xx江苏盐城时杨中学高三月考已知x0y02x+y=2则+的最大值为 . 答案 -
2.xx江苏南京溧水中学质检10已知xy为正实数且2x+y=1则+的最小值是 . 答案
93.xx江苏南京师范大学附中期中11等比数列{an}的首项为2公比为3前n项和为Sn若log3=9则+的最小值是 . 答案
2.
54.苏教必5三3变式若实数xy满足xy0且log2x+log2y=1则的最小值为 . 答案
45.xx江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试11若正实数xy满足x+y=1则+的最小值是 . 答案
86.xx江苏无锡期中9已知正实数ab满足a+3b=7则+的最小值为 . 答案
7.xx江苏苏州一模13已知ab=ab∈01则+的最小值为 . 答案 4+
8.xx江苏徐州沛县中学质检19已知函数fx=|x-2|.1解不等式fx+f2x+1≥6;2已知a+b=1ab0且∀x∈Rfx-m-f-x≤+恒成立求实数m的取值范围.解析 1fx+f2x+1=|x-2|+|2x-1|=当x时由3-3x≥6解得x≤-1;当≤x≤2时x+1≥6无解;当x2时由3x-3≥6解得x≥
3.所以不等式fx+f2x+1≥6的解集为-∞-1]∪[3+∞.2∵a+b=1ab0∴+=a+b=5++≥5+2=9∴∀x∈Rfx-m-f-x≤+恒成立等价于∀x∈R|x-2-m|-|-x-2|≤9恒成立即|x-2-m|-|-x-2|max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|x-2-m-x+2|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9∴-13≤m≤
5.
9.xx江苏苏州期中18如图有一块平行四边形绿地ABCD经测量BC=2百米CD=1百米∠BCD=120°拟过线段BC上一点E设计一条直路EF点F在四边形ABCD的边上不计路的宽度将绿地分为面积之比为1∶3的左、右两部分分别种植不同的花卉设EC=x百米EF=y百米.1当点F与点D重合时试确定点E的位置;2试求x的值使路EF的长度最短.解析 1S平行四边形ABCD=2××1×2sin120°=当点F与点D重合时S△CDE=S平行四边形ABCD=又∵S△CDE=CE·CD·sin120°=x∴x=1即E是BC的中点.2
①当点F在CD上时易知CF=1≤x≤2再由余弦定理可得y=≥当且仅当x=1时取等号.
②当点F在DA上不包含点D时易知DF=1-x0≤x1i当CEDF时过E作EG∥CD交DA于G在△EGF中EG=1GF=1-2x∠EGF=60°利用余弦定理得y=.ii当CE≥DF时过E作EG∥CD交DA于G在△EGF中EG=1GF=2x-1∠EGF=120°利用余弦定理得y=由i、ii可得y=0≤x1∴y==∵0≤x1∴ymin=当且仅当x=时取等号.由
①②可知当x=时路EF的长度最短.
10.xx江苏扬州中学期中18有一块三角形边角地如图中△ABC其中AB=8百米AC=6百米∠A=60°.某市为迎接250年城庆欲利用这块地修一个三角形形状的草坪图中△AEF供市民休闲其中点E在边AB上点F在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半设AE=x百米△AEF的周长为l百米.1如果要对草坪进行灌溉需沿△AEF的三边安装水管求水管总长度的最小值;2如果沿△AEF的三边修建休闲长廊求长廊总长度的最大值并确定此时E、F的位置.解析 1∵S△AEF=S△ABC∴AE·AF·sinA=×AB·AC·sinA.∵AB=8AC=6∴AF=.∵∴4≤x≤
8.∵△AEF中EF2=x2+-2x·cos60°=x2+-24∴l=x++x∈
[48].∵l=x++≥2+=6当且仅当x=2时取“=”∴lmin=
6.故水管总长度的最小值为6百米.2由1知:l=x++x∈
[48].令t=x+x∈
[48]∴t=1-==.列表得:x42228t-0+t↘极小值4↗且x=4时t=10;x=8时t=11故t∈
[411].l=t+在
[411]上单调递增∴当t=11时lmax=18此时x=8=
3.故当点E在B处点F是线段AC的中点时长廊总长度的最大值为18百米.B组 xx模拟·提升题组满分:60分 时间:30分钟
一、填空题每小题5分共45分
1.xx江苏姜堰中学高三期中已知函数fx=x2-mx+1x1x2是fx的两个零点且x1x2则的最小值为 . 答案
22.xx江苏无锡高三期中已知正项数列{an}的首项为1前n项和为Sn对任意正整数mn当nm时Sn-Sm=2m·Sn-m总成立若正整数pq满足p+q=6则+的最小值为 . 答案
3.xx江苏淮安、宿迁期中在锐角三角形ABC中9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为 . 答案
254.xx江苏泰州中学模拟12已知|AB|=3C是线段AB上异于AB的一点△ADC△BCE均为等边三角形则△CDE的外接圆的半径的最小值是 . 答案
5.xx江苏苏州暑期调研14已知a+b=2b0当+取最小值时实数a的值是 . 答案 -
26.xx江苏海头高级中学质检13已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为{x|x≠c}则其中a+c≠0的取值范围为 . 答案 -∞-6]∪[6+∞
7.苏教必5三3变式函数y=的最大值为 . 答案
8.xx江苏苏北四市联考11若实数xy满足xy+3x=3则+的最小值为 . 答案
89.xx江苏仪征中学第二学期期初检测13已知正数xy满足=4xy那么y的最大值为 . 答案
二、解答题共15分
10.xx江苏宿迁三校调研19如图公路AMAN围成的是一块顶角为α的角形耕地其中tanα=-
2.在该块土地中P处有一小型建筑经测量它到公路AMAN的距离分别为3kmkm.现要过点P修建一条公路BC将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用试确定B点的位置使得该工业园区的面积最小并求最小面积.解析 如图过点P作PE⊥AMPF⊥AN垂足分别为EF连结PA.设AB=xAC=y则x0y
0.因为P到AMAN的距离分别为3所以PE=3PF=.S△ABC=S△ABP+S△APC=×x×3+×y×=3x+y.
①因为tanα=-2所以sinα=.所以S△ABC=×x×y×.
②由
①②可得×x×y×=3x+y.即3x+5y=2xy.
③因为3x+5y≥2所以2xy≥
2.解得xy≥
15.当且仅当3x=5y时取“=”结合
③解得x=5y=
3.此时S△ABC=×x×y×取得最小值
15.答:当AB=5km时该工业园区的面积最小最小面积为15km
2.C组 xx模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值问题
1.xx盐城第三次模拟考试12若ab均为非负实数且a+b=1则+的最小值为 . 答案
32.xx苏锡常镇四市高三教学情况调研二已知ab均为正数且ab-a-2b=0则-+b2-的最小值为 . 答案
73.xx江苏无锡期末14已知a0b0c2且a+b=2则+-+的最小值为 . 答案 +方法2 基本不等式的实际应用
4.xx江苏三校联考18北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会某公司为了竞标配套活动的相关代言决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元年销售8万件.1据市场调查若价格每提高1元销售量将相应减少2000件要使销售的总收入不低于原收入该商品每件售价最高为多少元2为了抓住申奥契机扩大该商品的影响力提高年销售量公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革并提高售价到x元.公司拟投入x2-600万元作为技改费用投入50万元作为固定宣传费用投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时商品的每件售价.解析 1设每件售价为tt≥25元依题意得t≥25×8整理得t2-65t+1000≤0解得25≤t≤
40.所以要使销售的总收入不低于原收入该商品每件售价最高为40元.2依题意知x25且ax≥25×8+50+x2-600+x等价于a≥+x+x
25.由于+x≥2=10当且仅当=即x=30时等号成立所以a≥
10.
2.当该商品改革后的销售量a至少达到
10.2万件时才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和此时该商品的每件售价为30元.
5.xx江苏南通中学检测18如图将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN要求B在AM上D在AN上且对角线MN过C点已知AB=3米AD=2米.设AN=x米.1要使矩形AMPN的面积大于32平方米则x应在什么范围内2当x是多少时矩形AMPN的面积最小并求出最小面积;3若x≥6则当x是多少时矩形AMPN的面积最小并求出最小面积.解析 1易知x2且ND=x-2由题意得=∴=∴AM=∴·x32∴3x2-32x+640∴3x-8x-80∴2x或x
8.2S矩形AMPN===3x-2++12≥2+12=24当且仅当x=4时取等号.故当x=4时矩形AMPN的面积最小最小面积为24平方米.3S矩形AMPN=3x-2++12x≥6令x-2=tt≥4ft=3t++12∵ft=3t++12在[4+∞上递增∴ftmin=f4=27此时x=
6.故当x=6时矩形AMPN的面积最小最小面积为27平方米.方法3 不等式恒成立问题
6.xx江苏盐城高三上期中设函数fx=|x-a|+a∈R若当x∈0+∞时不等式fx≥4恒成立则a的取值范围是 . 答案 -∞2]
7.xx江苏金陵中学高三月考已知当0≤x≤2时不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立则t的取值范围是 . 答案 1≤t≤
8.当x∈12时不等式x2+mx+40恒成立则m的取值范围是 . 答案 -∞-5]
9.设0m若+≥k恒成立则实数k的最大值为 . 答案 8。