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2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式
7.
4.2基本不等式的综合应用对点训练理
1.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·的最小值为________.答案 解析 以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则B20,C,D.又=λ,=,则E,F,λ0,所以·=+λ=++λ≥+2=,λ0,当且仅当=λ,即λ=时取等号,故·的最小值为.2.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________单位元.答案 160解析 设池底长xm,宽ym,则xy=4,所以y=,则总造价为fx=20xy+2x+y×1×10=80++20x=20+80,x∈0,+∞.所以fx≥20×2+80=160,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.所以最低总造价是160元.3.在△ABC中,已知·=9,sinB=cosAsinC,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且=x·+y·,则xy的最大值为________.答案 3解析 由·=9,得bccosA=
9.由sinB=cosAsinC,得b=ccosA.由S△ABC=6,得bcsinA=6,由上述三式可解得b=3,c=5,cosA=,sinA=,由余弦定理得a2=32+52-2×3×5×=16,a=4,可见△ABC是直角三角形,以C为坐标原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则=30,=04,=10,=01,则=x·+y·=x10+y01=x,y,又P在直线AB上,故有+=1x0,y0.∵1=+≥2,∴xy≤
3.当且仅当==,即x=,y=2时等号成立.4.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y元与月处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.1该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?2该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?解 1由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.2不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-x-3002-35000,因为x∈
[400600],所以S∈[-80000,-40000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.。