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2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第2讲一元二次不等式及其解法理
一、选择题1.不等式≤0的解集是 A.-∞,-1∪-12] B.-12]C.-∞,-1∪[2,+∞D.[-12]解析∵≤0⇔⇔∴x∈-12].答案B
2.若集合,则()A.B.C.D.解析因为集合所以选B.答案B3.设a0,不等式-cax+bc的解集是{x|-2x1},则a∶b∶c= .A.1∶2∶3B.2∶1∶3C.3∶1∶2D.3∶2∶1解析 ∵-cax+bc,又a0,∴-x.∵不等式的解集为{x|-2x1},∴∴∴a∶b∶c=a∶∶=2∶1∶
3.答案 B4.不等式x2-2log2x0的解集是 .A.01∪,+∞B.-,1∪,+∞C.,+∞D.-,解析 原不等式等价于或∴x或0x1,即不等式的解集为01∪,+∞.答案 A5.已知二次函数fx=ax2-a+2x+1a∈Z,且函数fx在-2,-1上恰有一个零点,则不等式fx1的解集为 .A.-∞,-1∪0,+∞B.-∞,0∪1,+∞C.-10D.01解析 ∵fx=ax2-a+2x+1,Δ=a+22-4a=a2+40,∴函数fx=ax2-a+2x+1必有两个不同的零点,又fx在-2,-1上有一个零点,则f-2f-10,∴6a+52a+30,∴-a-,又a∈Z,∴a=-1,不等式fx1即为-x2-x0,解得-1x
0.答案 C6.设函数fx=若f-4=f0,f-2=0,则关于x的不等式fx≤1的解集为 .A.-∞,-3]∪[-1,+∞B.[-3,-1]C.[-3,-1]∪0,+∞D.[-3,+∞解析 当x≤0时,fx=x2+bx+c且f-4=f0,故其对称轴为x=-=-2,∴b=
4.又f-2=4-8+c=0,∴c=4,当x≤0时,令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;当x>0时,fx=-2≤1显然成立,故不等式的解集为[-3,-1]∪0,+∞.答案 C
二、填空题7.已知关于x的不等式ax2+2x+c0的解集为,则不等式-cx2+2x-a0的解集为________.解析 由ax2+2x+c0的解集为知a0,且-,为方程ax2+2x+c=0的两个根,由根与系数的关系得-+=-,-×=,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a0,即2x2-2x-120,其解集为-23.答案 -238.已知函数fx=则满足不等式f1-x2>f2x的x的取值范围是________.解析 由函数fx的图象可知如下图,满足f1-x2>f2x分两种情况
①⇒0≤x<-
1.
②⇒-1<x<
0.综上可知-1<x<-
1.答案 -1,-19.已知函数fx=-x2+2x+b2-b+1b∈R,若当x∈[-11]时,fx0恒成立,则b的取值范围是________.解析 依题意,fx的对称轴为x=1,且开口向下,∴当x∈[-11]时,fx是增函数.若fx0恒成立,则fxmin=f-1=-1-2+b2-b+10,即b2-b-20,∴b-2b+10,∴b2或b-
1.答案 -∞,-1∪2,+∞10.设a∈R,若x0时均有[a-1x-1]x2-ax-1≥0,则a=________.解析 显然a=1不能使原不等式对x0恒成立,故a≠1且当x1=,a≠1时原不等式成立.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x2x3,易知x20,x
30.当x0时,原不等式恒成立,故x1=满足方程x2-ax-1=0,代入解得a=或a=0舍去.答案
三、解答题11.设二次函数fx=ax2+bx+c,函数Fx=fx-x的两个零点为m,nmn.1若m=-1,n=2,求不等式Fx0的解集;2若a0,且0xmn,比较fx与m的大小.解 1由题意知,Fx=fx-x=ax-mx-n,当m=-1,n=2时,不等式Fx0,即ax+1x-
20.当a0时,不等式Fx0的解集为{x|x-1或x2};当a0时,不等式Fx0的解集为{x|-1x2}.2fx-m=Fx+x-m=ax-mx-n+x-m=x-max-an+1,∵a0,且0xmn,∴x-m01-an+ax
0.∴fx-m0,即fxm.12.已知不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},1求a,b;2解不等式ax2-ac+bx+bc
0.解 1因为不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b
1.由根与系数的关系,得解得2由1知不等式ax2-ac+bx+bc0为x2-2+cx+2c0,即x-2x-c
0.
①当c2时,不等式x-2x-c0的解集为{x|2xc};
②当c2时,不等式x-2x-c0的解集为{x|cx2};
③当c=2时,不等式x-2x-c0的解集为∅.综上所述当c2时,不等式的解集为{x|2xc};当c2时,不等式的解集为{x|cx2};当c=2时,不等式的解集为∅.13.已知抛物线y=m-1x2+m-2x-1x∈R.1当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?2若关于x的方程m-1x2+m-2x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.解 1根据题意,m≠1且Δ0,即Δ=m-22-4m-1-10,得m20,所以m≠1且m≠
0.2在m≠0且m≠1的条件下,因为+==m-2,所以+=2-=m-22+2m-1≤
2.得m2-2m≤0,所以0≤m≤
2.所以m的取值范围是{m|0m1或1m≤2}.14.设函数fx=a2lnx-x2+ax,a>
0.1求fx的单调区间;2求所有的实数a,使e-1≤fx≤e2对x∈[1,e]恒成立.注 e为自然对数的底数.解 1因为fx=a2lnx-x2+ax,其中x>0,所以f′x=-2x+a=-.由于a>0,所以fx的增区间为0,a,减区间为a,+∞.2由题意得,f1=a-1≥e-1,即a≥e.由1知fx在[1,e]内单调递增,要使e-1≤fx≤e2,对x∈[1,e]恒成立,只要解得a=e.。